факториалы и формулы к ним

[yk2ru]

Есть оценочная формула Стирлинга для факториалов от больших N ( N! = ... ).

Есть что подобное для следующего произведения?
1 * 3 * 5 * 7 * 9 * ... * N = некая оценочная формула.

То есть для произведения чисел с разницей друг от друга не 1, а 2 - произведения нечётных чисел в данном случае.

[Аурелиано Буэндиа]

Этот случай можно свести к обыкновенному факториалу

$$ (2n+1)!! := \prod_{i=0}^n (2i+1)= \frac{(2n+1)!}{2^n n!} $$

[RIP]

Есть формула Стирлинга для гамма-функции. Учитывая, что

$$\frac{\Gamma(s+n)}{\Gamma(s)}=s(s+1)(s+2)\ldots(s+n-1),$$

можно найти формулу для произведения членов произвольной арифметической прогрессии.

[PAV]

PAV:

RIP

просьба не помещать в тег math все свое сообщение, а только формулы.
Пожалуйста, поправьте свои посты.

[незваный гость]

$\begin{array}{lllllll} (2n-1)!! & = & \sqrt2 & \left(\frac{2n}{\rm e}\right)^n & \left(1 -\frac{1}{24}n^{-1} + \frac{1}{1152}n^{-2} + {\rm O}(n^{-3})\right)\\ (2n)!! & = & \sqrt{2\pi n} & \left(\frac{2n}{\rm e}\right)^n & \left(1 +\frac{1}{12}n^{-1} + \frac{1}{288}n^{-2} + {\rm O}(n^{-3})\right)\\ (2n+1)!! & = & 2\sqrt2 \, n & \left(\frac{2n}{\rm e}\right)^n & \left(1 +\frac{11}{24}n^{-1} + \frac{23}{1152}n^{-2} + {\rm O}(n^{-3})\right) \end{array}$

[yk2ru]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Этот случай можно свести к обыкновенному факториалу

$$ (2n+1)!! := \prod_{i=0}^n (2i+1)= \frac{(2n+1)!}{2^n n!} $$

И получил, если правильно запомнил:
(2n+1)!! = [(2n+1)**(2*n+3/4)] / [2**(n+1) * n**(n+1/2) * e**n]

[незваный гость]

незваный гость:

yk2ru
Пользуйтесь, пожалуйста, тегом math. Это требование правил, а не пожелание. Краткое руководство — здесь.

[yk2ru]

Нужно изучить все специальные термины/символы для написания формул или это делается как-то иначе?

Имеется ли программка-визуальный редактор, где возможно набрать формулу и затем сюда скопировать?

[Someone]

yk2ru писал(а):

Нужно изучить все специальные термины/символы для написания формул или это делается как-то иначе?

Имеется ли программка-визуальный редактор, где возможно набрать формулу и затем сюда скопировать?

Зачем Вам все специальные символы? Скачайте руководство http://www.mccme.ru/free-books/llang/newllang.pdf#search=%22newllang%22. Смотрите то, что Вам понадобилось в данный момент. Для того, чтобы писать формулы на форуме, система очень проста. С визуальным редактором будет больше возни. Например, Ваша формула кодируется так:

[math]$(2n+1)!!\sim\frac{(2n+1)^{2n+\frac{3}{4}}}{2^{n+1}n^{n+\frac{1}{2}}e^n}$[/math]

Получается $(2n+1)!!\sim\frac{(2n+1)^{2n+\frac{3}{4}}}{2^{n+1}n^{n+\frac{1}{2}}e^n}$.

Если сделать

[math]$$(2n+1)!!\sim\frac{(2n+1)^{2n+\frac{3}{4}}}{2^{n+1}n^{n+\frac{1}{2}}e^n}$$[/math],

то получится

$$(2n+1)!!\sim\frac{(2n+1)^{2n+\frac{3}{4}}}{2^{n+1}n^{n+\frac{1}{2}}e^n}$$

.

Можете "подсмотреть", как сделаны другие формулы: если навести на формулу курсор мыши, то появится код формулы.

Фигурные скобки служат для группировки символов (те из них, внутри которых заключён только один символ, обычно можно опустить; например, дробь "одна вторая" кодируется как \frac 12, хотя я написал \frac{1}{2}).

[незваный гость]

yk2ru,
все равно, Ваша формула не верна. Главный член: $(2n+1)!! \sim 2\sqrt2 \, n \left(\frac{2n}{\rm e}\right)^n $