Правильно ли доказательство? (неравенство с модулями)

[Andrey173]

Нашел задание, вроде решил. Сомневаюсь в верности.
Нужно доказать что $ |a + b| \ge ||a| - |b||$. Без доказательств принимаем это неравенство равным $ |a + b| \ge |a| - |b| \ge - |a + b|$. Откуда используя свойства неравенств, находим что нужно доказать $ |a + b| \ge |a| - |b|$ и $ |a + b| \ge |b| - |a|$. Модуль по определению большее число из $ a + b$ и $ - a - b$. Следовательно, если a и b одного знака, их можно принять положительными, и тогда их сумма будет больше (или равна) $ |a| - |b|$, как разности одного из слагаемых с положительным числом (или нулем). Если они разных знаков и их модули равны то $|a + b| = |a| - |b| = 0$. Если их модули не равны то примем положительной ту переменную, чей модуль больше (И значит алгебраическая сумма будет положительным числом). Если в выражении $|a| - |b|$ такой переменной будет уменьшаемое то $|a + b| = |a| - |b|, если вычитаемое то $|a +b| > |a| - | b|$ как отрицательное.
Во всех случаях $|a + b| \ge |a| - |b|$ Аналогично доказывается для $|b| - |a|$
Вот сейчас написал, кажется, какое-то убогое решение . Наверняка есть проще.

[ShMaxG]

$\[\begin{gathered} \left| {x + y} \right| \leqslant \left| x \right| + \left| y \right| \Rightarrow \boxed{\left| x \right| \geqslant \left| {x + y} \right| - \left| y \right|} \hfill \\ \left| y \right| = \left| {y + x - x} \right| \leqslant \left| {x + y} \right| + \left| x \right| \Rightarrow \boxed{\left| x \right| \geqslant \left| y \right| - \left| {x + y} \right|} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Вместо тысячи слов....

[Andrey173]

И я про то же. Не получается у меня находить лаконичные решения. Может дело опыта...

[ShMaxG]

Andrey173 в сообщении #348957 писал(а):

Может дело опыта...

Именно так