Предел функции двух переменных - проверьте, пожалуйста

[Dext]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли вычислен двойной предел:

\[\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\sin(x+y)\ln(x^2+y^2)=\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{\sin(x+y)}{x+y}\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}(x+y)\ln(x^2+y^2)=\[

\[=\lim_{\substack{x\to0\\y\to0}}(x+y)\ln(x^2+y^2)=\Bigl\{y=kx\Bigl\}=\lim_{x\to0}(x+kx)\ln(x^2+k^2x^2)=\[

\[=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x^2+k^2x^2)}{\dfrac{1}{x+kx}}=\lim_{x\to0}\frac{\left(\ln(x^2+k^2x^2)\right)'}{\left(\dfrac{1}{x+kx}\right)'}=-2(1+k)\lim_{x\to0}x=0.\[

[ewert]

Ну, во-первых, в конце ошибка -- предел логарифма равен не нулю, а, наоборот, бесконечности. Во-вторых, эта ошибка компенсируется предыдущей ошибкой, в которой потеряна степень (так что предел равен-таки нулю).

Но это всё семечки, главная проблема в другом. Вы пытаетесь посчитать предел по лучу. Но из оного (даже если он и найдётся) вовсе не следует предела и даже существования предела ваще. Перейдите в полярные координаты и повыкидывайте всё явно ненужное оценками сверху.

[Dext]

Спасибо! Буду думать

А этот хоть можно считать по лучу:

\[\lim_{\substack{x\to\infty\\y\to\infty}}\frac{x+2y}{x^2-2xy+2y^2}=\Bigl\{y=kx\Bigl\}=\lim_{x\to\infty}\frac{x+2kx}{x^2-2kx^2+2k^2x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+2k}{x-2kx+2k^2x}=0\[ ?

[ewert]

Говоря формально -- нельзя. Неформально же сказать -- не могу, самоцензура не позволяет.

Аналогично: оцените знаменатель снизу через $x^2+y^2$ (это нетрудно, т.к. там по сравнению с полным квадратом есть явно избыточные добавки).

[Dext]

ewert в сообщении #348482 писал(а):

Ну, во-первых, в конце ошибка -- предел логарифма равен не нулю, а, наоборот, бесконечности. Во-вторых, эта ошибка компенсируется предыдущей ошибкой, в которой потеряна степень (так что предел равен-таки нулю).

Что-то я не понял Вас
Я же получил отношение \[\frac{\infty}{\infty}\[ и воспользовался правилом Лопиталя.
Какая степень? Где она потеряна?

[ewert]

Dext в сообщении #348491 писал(а):

Какая степень? Где она потеряна?

При дифференцировании потеряны. Какие там ни на есть иксы, а они обязаны проникнуть в числитель.

[Alexey1]

Дифференцирование вроде правильно выполнено
$\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\ln (x^2+k^2x^2))}{\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{1}{x+kx}\Big)}=-2(k+1)x$.
Но это действительно значения не имеет. Предел по лучу не означает существование предела в точке.

[Алексей К.]

А наличие и одинаковость предела по всем лучам означали бы существование предела в точке?
Здесь автор всего один лучик упустил...
Или надо по любой траектории, сходящейся к нулю? (т.е. перейти в полярные координаты, как уже указано).

-- 31 авг 2010, 11:44 --

Как бы осознал и разобрался.

ewert в сообщении #184016 писал(а):

Универсального рецепта нет. Для начала стоит попытаться ответ угадать. И действительно, можно начать с поиска пределов по разным лучам. Если они разные, то вопрос снят -- предела нет. Если одинаковые -- то надо ещё доказать, что общий предел именно таков.