Оценка корня из восьми

[arqady]

Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа такие, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}$.
Докажите, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}+\frac{4(\sqrt2-1)}{mn}$.

[Edward_Tur]

arqady в сообщении #347982 писал(а):

Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа такие, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}$.
Докажите, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}+\frac{4(\sqrt2-1)}{mn}$.

$\sqrt8\geq\frac{m}{n}+\frac{2}{mn}$ тоже верно.

[ИСН]

Короче, по уму тут надо возиться примерно как с теоремой Гурвица-Бореля, только она для всех чисел, а нам надо одно. Найти константу для оценки приближений "кроме м.б. конечного числа", а всё сверх неё перебрать руками.
А по-простому - возвести обе стороны в квадрат, умножить на $n^2$, и проанализировать остатки от деления на 8. Или даже на 4. Нет, всё-таки на 8. Получится оценка Edward_Tur, только там есть нюанс, из-за которого проскочила нехорошая дробь 2/1. Она же, кстати, и реализует - - -

[Edward_Tur]

Ошибся, оценка $4(\sqrt2-1)$ точная

[arqady]

Решение:
Поскольку $8n^2-m^2\geq0$ и $8n^2-m^2\notin\{0,1,2,3\}$, то $8n^2-m^2\geq4$, то бишь $\sqrt8\geq\frac{\sqrt{m^2+4}}{n}$.
Но $\frac{\sqrt{m^2+4}}{n}\geq\frac{m}{n}+\frac{4(\sqrt2-1)}{mn}\Leftrightarrow m\geq2$, а проверка $m=1$ даёт $\sqrt8\geq\frac{1}{n}+\frac{4(\sqrt2-1)}{n},$ что верно для всех натуральных $n$.
Поэтому задача решена.
Этот метод не работает для следующего неравенства (Edward_Tur, ИСН, если я правильно вас понял, господа).
Пусть $m$ и $n\geq2$ - такие натуральные числа, что $\sqrt{8}>\frac{m}{n}$.
Докажите, что $\sqrt{8}>\frac{m}{n}+\frac{2}{mn}$.
Тут, правда, непонятно, что делать с дробью $\frac{14}{5}$?

[Edward_Tur]

Неравенство $\sqrt{8}>\frac{m}{n}+\frac{2}{mn}$ никогда не верно:
$m=(1+\sqrt{2})^{2k-1}+(1-\sqrt{2})^{2k-1}, n=((1+\sqrt{2})^{2k-1}-(1-\sqrt{2})^{2k-1})/\sqrt{8}$, тогда
$(\sqrt{8})-\frac{m}{n})mn=2-2(3-\sqrt{8})^{2k-1}$.

[arqady]

Да, для $n\geq2$ получается следующая бяка.
Пусть $m$ и $n\geq2$ - натуральные числа такие, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}$.
Докажите, что $\sqrt8\geq\frac{m}{n}+\frac{28(5\sqrt2-7)}{mn}$.

[Edward_Tur]

Ваше последнее неравенство соответствует второму "наилучшему" приближению снизу числа $\sqrt{8}$:
$m=(1+\sqrt{2})^{2k-1}+(1-\sqrt{2})^{2k-1}, n=((1+\sqrt{2})^{2k-1}-(1-\sqrt{2})^{2k-1})/\sqrt{8}$,
$(\sqrt{8})-\frac{m}{n})mn=2-2(3-\sqrt{8})^{2k-1}$, $ k=2$.