Окрестность или открытая окрестность?

[Виктор Викторов]

«Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.»
Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981.

«Уже лет 70 как окрестность - синоним открытого множества.
"Открытую окрестность" я не заметил - это что-то новенькое, учитывая предыдущее предложение.
Прощайте, разговор окончен.»
Из частного письма ко мне.

Если бы только один человек столь резко отреагировал на использование мною термина «открытая окрестность», то я бы не удивился – всякое бывает. Но этих возмущенных моим поведением людей весьма несколько. И среди них несколько уважаемых (по крайней мере мной) серьёзных математиков. А история, насколько я понимаю, такова. Когда в середине двадцатых годов прошлого столетия общая топология уже существовала как отдельная дисциплина, то пользовались термином «окрестность», понимая под этим открытое множество, содержащее точку $x$. Но в сороковые годы прошлого века появилось понятие «фильтр». И очень захотелось, чтобы совокупность всех окрестностей точки была фильтром. Пришлось пойти на усложнение понятия «окрестность» и тогда появилось определение, процитированное по книге Келли. По этому определению совокупность всех окрестностей точки стала фильтром, а совокупность всех открытых окрестностей точки -- базисом этого фильтра.

Книга Келли единственная мне известная книга, где используются оба термина. Может быть, кто-нибудь знает причину «семидесятилетней» реакции и (это главное), может быть, существует другой выход из этого терминологического казуса?

[Padawan]

А чем фильтры лучше, чем базы фильтров? Тем, что можно ввести понятие ультрафильтра?

[Виктор Викторов]

С фильтрами история долгая. Например, понятие фильтра позволило ввести понятие предела в любых топологических пространствах.

[Padawan]

Так и понятие базы тоже самое позволяет. Более того, например, когда определяется произведение фильтров, оказывается, что произведение элементов баз этих фильтров будет базой (некоторого фильтра). Далее по полученной базе искуствено строится фильтр надмножеств.

Опять же, когда проводится сравнение направленностей и фильтров, оказывается, что для заданного направленного множества $(S, \geqslant)$, множества $B_t=\{x\in S: x\geqslant t\}$ образуют базу, а не фильтр.

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #348064 писал(а):

А чем фильтры лучше, чем базы фильтров?

Давайте не будем забывать, что фильтр может сходиться, но не обязан. Возьмем в стандартной топологии числовой прямой нигде неплотное множество, содержащее более одной точки. Например, множество всех натуральных чисел и рассмотрим его как базу некоторого фильтра. В этом случае, сам фильтр – совокупность всех надмножеств множества всех натуральных чисел.
Есть база, есть фильтр, фильтр не сходится (хотя некоторые открытые окрестности ряда точек входят в этот фильтр).

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #348082 писал(а):

... когда проводится сравнение направленностей и фильтров, оказывается, что для заданного направленного множества $(S, \geqslant)$, множества $B_t=\{x\in S: x\geqslant t\}$ образуют базу, а не фильтр.

Я думаю, что источником Ваших размышлений является пример 4.14 на странице 102 «Общая топология» Александряна и Мирзаханяна. Если это не так, то я бы хотел знать Ваш источник.
Теперь по сути. Речь идет о множествах, которые содержат все элементы направленности, начиная с некоторого. Но фильтр, построенный на этой базе тоже является совокупностью таких множеств. Причём, наибольшей совокупностью. Поэтому, я думаю, что он (фильтр) тут к месту.