установить вид изоморфизма в явном виде?

[spyphy]

Только начинаю разбираться с группами, но не всё до конца понятно. Вот задачка (из сборника Белоногова):

Цитата:

Пусть G=(M, .) - группа и а - элемент М. Определим на М новую бинарную операцию * по правилу
x*y = xay, где x,y принадлежат M.
Тогда (M,*) - группа и (M,*) изоморфно (M,.).

Как доказать, что (M,*) - группа, я знаю. Но как доказать, что (M,*) и (M,.) изоморфны? И вообще, нужно ли здесь находить изоморфизм в явном виде? Или это следует из каких-то иных соображений?
Я полагаю, что требуется доказать равенство
f(xy) = f(x) a f(y),
где f - искомый изоморфизм. Но можно ли это сделать, если f не известно?

[maxmatem]

Ну раз вам надо установить ,что это изоморфизм, то действуйте по определению. Ну найдите его в явном виде и просто проверьте сохранение операций и инъективность и сюрьективность .

[spyphy]

maxmatem в сообщении #347876 писал(а):

Ну найдите его в явном виде

Как раз это и вызвало у меня затруднения.. Установить биективность, видимо, не сложно. Но кроме биективность еще потребуется доказать равенство
f(xy) = f(x)*f(y) = f(x) a f(y),
где само отображение f мне не известно (я его хочу найти, если это возможно). По крайней мере можно показать, что
$f(1)=a^{-1}$, где 1 - единица группы (M,.).
А что делать дальше? Может у кого есть наводящие идеи?

[ИСН]

Тут довольно трудно дать такой намёк, чтобы он заключал в себе не весь ответ, а только часть.
Но я попробую.
Короче, элемент x переводится нашим изоморфизмом в какой-то новый элемент, зависящий от x и от a. Попробуйте, ну, не знаю, разные комбинации - не являются ли они искомым изоморфизмом. Это довольно просто, потому что их не так уж много (операция-то всего одна), да к тому же Вы уже знаете, во что переходит единица (действительно, в $a^{-1}$).

[spyphy]

OK, спасибо, если угадыванием, то да, можно найти такой изоморфизм:
$ f(x):=a^{-1}x $.
Я вот все пытался вывести это из каких-то логических предпосылок, жаль, что так не получается.

[spyphy]

У меня тут, правда, возник еще вопрос в продолжение к этой теме:
Если на множестве М определены две различные алгебраические операции, относительно каждой из которых множество М образует группу, то всегда ли эти группы изоморфны друг другу?
На сколько я понимаю, для конечных множеств это так, а в общем случае? Я подумываю использовать это утверждение в других задачах..

[ИСН]

Вы только что сказали, что для каждого конечного числа существует только одна группа такого порядка.

[spyphy]

Цитата:

существует только одна группа

одна в смысле с точностью до изоморфизма, или вообще единственная?.. Наверное, я плохо понимаю эти вещи.
Я, конечно, знаю про теорему Кэли, но не могу быть уверен, что она здесь применима. Поэтому было бы лучше, если бы ответ был ДА или НЕТ.

[ИСН]

Одна с точностью до изоморфизма. Это Вы только что сказали. А так ли это?

[spyphy]

Хм, похоже, что и для конечных множеств это тоже не всегда верно... С первого раза я не правильно воспринял теорему Кэли. Оказывается, что группа изоморфна только некоторой подгруппе группы ее перестановок, а не сразу всей симметрической группе ее перестановок (да уж здесь не сложно запутаться...).
Но всё же, в том случае, если операции связаны функцией с разделяющимися переменными, то, похоже, такие группы всё ж изоморфны не зависимо от их конечности...

[ИСН]

Что такое функция с разделяющимися переменными?

[spyphy]

ИСН в сообщении #348213 писал(а):

Что такое функция с разделяющимися переменными?

А это в задачнике так определение дается. То есть такая функция f(x,y), для которой существуют функции а и b такие, что
f(x,y)=a(x)b(y) для любых x,y из M.
В этом случае, как здесь пишут, группа (М,f) изоморфна (М,.)

[Leox]

spyphy в сообщении #348224 писал(а):

ИСН в сообщении #348213 писал(а):

Что такое функция с разделяющимися переменными?

А это в задачнике так определение дается. То есть такая функция f(x,y), для которой существуют функции а и b такие, что
f(x,y)=a(x)b(y) для любых x,y из M.
В этом случае, как здесь пишут, группа (М,f) изоморфна (М,.)

почитайте более внимательно, там должно быть что-то вроде $f(x y)=f(x)f(y)$ а не то что у вас написано.. да и термина "разделяющиеся переменные" в том задачнике не может быть

[spyphy]

Leox в сообщении #348270 писал(а):

там должно быть что-то вроде $f(x y)=f(x)f(y)$

можете сами почитать - упр.1.9 на стр. 10
http://lib.org.by/info/tmp/Belonogov%20 ... _new.djvu#
Только я не сказал, что здесь f: M $ \times $ M $ \to $ M,
то есть здесь фукнция f - это не что иное как обычная групповая операция $f(x,y)=xfy$, а еще не изоморфизм как вы, вероятно, подумали.

-- Пн авг 30, 2010 01:29:22 --

За одно хотел бы уточнить один момент, если можно. Вот такой вопрос:

Если p1,p2 - две подстановки множества M, * - операция умножения подстановок, x - элемент из М, то
(p1*p2)(x) = p1(p2(x))
или
(p1*p2)(x) = p2(p1(x)) ?
Если без разницы, то как лучше?
(Это относится к теореме Кэли).

-- Пн авг 30, 2010 01:51:50 --

И еще два простых вопроса:
1) порядок единицы группы равен 1?
2) всегда ли можно доказаться, что две группы одного порядка не изоморфны между собой?
(то есть даны какие-нибудь две конкретные группы порядка n, а изоморфизма между ними не существует, но надо это показать - всегда ли это можно сделать?)

[AKM]

spyphy,

предупреждение за игнорирование Правил.

Здесь рассказано, как набирать формулы.

M $ \times $ M $ \to $ M Зачем так сложно?
Долларами окружается вся формула, а не только хитрые значки:
$M \times M \to M$: $M \times M \to M$