Про среднюю скорость движения

[Архипов]

По ссылке в Интернет:
("Задачи. Средняя скорость — PhysBook")
4. Мальчик за 25 мин прошел 1,2 км, затем полчаса отдыхал, а затем пробежал еще 800 м за 5 мин. Какова была его средняя скорость на всем пути? Ответ: 2 км/60 минут= 2 км/ч= 0,56 м/с.
==========
Такие задачи задают школьникам учителя. Школьники именно так будут решать подобную задачу , даже на ЕГЭ.
==========
Решение не соответствует определению средней скорости (ср.скор=путь/время движения). Ответ: 2 км/30мин = 4 км/ч.
"От перестановки мест слагаемых сумма не меняется". Переставим "затем полчаса отдыхал" в конец (после того, как пробежал 800 м). Что получим? Парадокс. То есть время отдыха учитывать не нужно в любом случае, так как в это время движения не было. Мальчик мог отдыхать и год, но на среднюю скорость движения год отдыха не должен влиять.
Логично?
Что делать?
Не формулировать задачи на среднюю скорость в таком виде, так как практической пользы от такой задачи нет, проверяется фактически умение выполнять арифметические действия (сложить и разделить) по заученному алгоритму, не имеющему физического смысла.

[myhand]

Архипов в сообщении #346983 писал(а):

По ссылке в Интернет:
("Задачи. Средняя скорость — PhysBook")
4. Мальчик за 25 мин прошел 1,2 км, затем полчаса отдыхал, а затем пробежал еще 800 м за 5 мин. Какова была его средняя скорость на всем пути? Ответ: 2 км/60 минут= 2 км/ч= 0,56 м/с.
==========
Такие задачи задают школьникам учителя. Школьники именно так будут решать подобную задачу , даже на ЕГЭ.
==========
Решение не соответствует определению средней скорости (ср.скор=путь/время движения). Ответ: 2 км/30мин = 4 км/ч.

Почему не соответствует?

На определенном этапе пути он полчаса отдыхал. Т.е. за $\Delta t_2 = 30\,{\rm min}$ он прошел $\Delta x_2 = 0 {\rm км}$. С учетом того этого получаем, полностью в соответствии с определением:

$$\frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3} = \frac{1.2 + 0 + 0.8}{25 + 30 + 5} = 2 \,{\rm km/hour}$$

Вопрос на элементарное знание определений, а не на арифметику.

[EEater]

Нормальная задача на развитие мышления: покой - это частный случай движения (с нулевой скоростью). Сколько мы видели "мыслителей", выступающих с гениальной идеей: ноль это не число, потому что "ничего нет".

[strrrts]

Мальчик на уроке математики увидел $1^2=1$.
На листе бумаги отложил отрезок, равный 1 см. Рядом начертил квадрат со стороной 1 см. Внимательно посмотрел:"Ну да, наверное они равны..." Показал соседу слева. Тот померил отрезок: 10 мм. Посчитал и говорит:" Квадрат больше!" Cосед справа померил отрезок: 0,1 дм. Кричит друзьям:"Да вы с ума сошли - Отрезок больше"...Вопросы: верна ли формула? Кто из ребят прав?

[photon]

strrrts в сообщении #347013 писал(а):

Мальчик на уроке математики увидел $1^2=1$.
На листе бумаги отложил отрезок, равный 1 см. Рядом начертил квадрат со стороной 1 см. Внимательно посмотрел:"Ну да, наверное они равны..." Показал соседу слева. Тот померил отрезок: 10 мм. Посчитал и говорит:" Квадрат больше!" Cосед справа померил отрезок: 0,1 дм. Кричит друзьям:"Да вы с ума сошли - Отрезок больше"...Вопросы: верна ли формула? Кто из ребят прав?

формула верна, а ребята все ошибаются, потому что $1\neq 1\text{ см}$ - безразмерная величина не равна размерной; и $\text{см}\neq\text{см}^2$

[EEater]

strrrts в сообщении #347013 писал(а):

Кто из ребят прав?

Почему вдруг $1^2$ это квадрат???
Кстати, Кантор был шокирован, когда у него получилось, что множества точек отрезка и квадрата эквивалентны

[Архипов]

myhand в сообщении #346993 писал(а):

" Мальчик за 25 мин прошел 1,2 км, затем полчаса отдыхал, а затем пробежал еще 800 м за 5 мин. Какова была его средняя скорость на всем пути? Ответ: 2 км/60 минут= 2 км/ч= 0,56 м/с.

На определенном этапе пути он полчаса отдыхал. Т.е. за $\Delta t_2 = 30\,{\rm min}$ он прошел $\Delta x_2 = 0 {\rm км}$. С учетом того этого получаем, полностью в соответствии с определением:

$$\frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3} = \frac{1.2 + 0 + 0.8}{25 + 30 + 5} = 2 \,{\rm km/hour}$$

Вопрос на элементарное знание определений, а не на арифметику.

Чуть изменим текст задачи: " Мальчик за 25 мин прошел 1,2 км, затем пробежал еще 800 м за 5 мин, затем полчаса отдыхал. Какова была его средняя скорость на всем пути? "
Видим, что весь путь равен 2 км, преодолен он был за 30 минут. Отвечаем на вопрос задачи: ср. скорость равна 4 км/час. Заметим: спрашивалось про ср.скорость на всем пути.
2) Еще заметим: корректная физическая задача должна иметь необходимые и достаточные данные (условия) и иметь устойчивое решение. Что мы видим? За 1 час мальчик преодолел путь 2 км. Ср. скорость, по определению, 2/1=2 км/ч.
* Необходимые и достаточные условия : 1 час и 2 км. Зачем было огород из отрезков городить, да еще с паузой, равной половине времени движения (для проверки арифметики)?
* Поместив паузу в конец пути, мы не нарушим условие задачи, так как суммарное время не меняется. Но возникает дилемма: включать ли эту паузу в общее время движения? Ведь путь 2 км уже преодолен за 30 минут (а спрашивается про ср.скорость на этом пути). Да пусть мальчик отдыхает хоть год! Движения во время паузы все равно не будет. То есть пауза не характеризует движение, а только указывает на отсутствие движения. Решение задачи не устойчиво, так как чисто алгебраическая перестановка слагаемых приводит нас в недоумение Видим, что ср.скорость на первом этапе была 1,2/0,42= 2,88 км/ч, на втором этапе была 0,8/0,08= 9,6 км/час, потому странно будет выглядеть средняя скорость 2 км/час на этих двух этапах.
* Средняя скорость считается (на практике и в статистике) наилучшим приближением к фактической, если известны только пройденный путь и время, а фактическая скорость не известна. Но время отдыха (в обсуждаемой задаче) известно и точно известна скорость (она равна нулю). Значит - есть возможность получить наилучшее приближение для описания движения (вычислить средние скорости на двух этапах и указать время паузы в движении).
П.С. Написал много буков, да только зря. Кому какое дело до того: шагал ли мальчик, бежал ли мальчик, отдыхал ли мальчик? Известно только то, что он плелся со ср.скоростью 2 км/ч (согласно арифметическому определению ср.скорости 2/1=2, остальные подробности - для украшения текста задачи).

[myhand]

(Оффтоп)

Архипов в сообщении #347575 писал(а):

Написал много буков, да только зря.

С этим не поспоришь.

Думаю, это даже не в пургаторий...

[Архипов]

myhand писал(а):

Думаю, это даже не в пургаторий...

Когда нет аргументов, то нужно же ж что-нибудь сказать эдакое....

Из школьного учебника физики: средняя скорость = перемещение (путь), в условном предположении о равномерном и прямолинейном движении, деленное на время движения при этом перемещении Vcp=S/t (условно-операциональное определение).
Далее следуют разъяснения:
* Если не сказано о характере изменения скорости, а даны только путь и время в пути, то можно вычислить только условную скорость, обозначаемую "средняя скорость". По вычисленной средней скорости нельзя предсказать координату тела в любой данный момент или для любой точки пути, то есть вычисленное значение средней скорости является предположительной оценкой для всего пути и действительным значением только в начальной или конечной точках пути.
Практичаская польза от вычисления средней скорости (надо же школьнику обосновать полезность данной операции) состоит в том, что на практике средняя скорость служит наилучшим приближением к действительной скорости на указанном пути. Например, мотоциклист преодолел путь 60 км за 1 час. Мы делаем предположение: он ехал, приблизительно, со скоростью 60 км/час на всем пути. Через 20 минут от начала движения он приблизительно был в 20 км от начальной точки пути. Иначе вычисленная средняя скорость просто бесполезна, то есть она не позволяет получить новой информации.
=======
Возвращаемся к обсуждаемой задаче:
Найденное значение средней скорости 2 км/час, для пути 2 км и времени прибытия в конечную точку не позволит предсказать координаты мальчика в любой точке пути или любого времени, кроме начальной и конечной точек (согласно утверждения в учебнике). Справедливо, если бы в задаче не было указано, что в течение 30 минут в точке, отстоящей в 1, 2 км от начала пути, тело было неподвижно. То есть, из одного часа заданного времени, есть 30 минут, в течении которых мы точно можем предсказать координату тела.
==
Каков же вывод из сказанного?
В обсуждаемой задаче мальчик двигался со средней скоростью 2,88 в течение 25 минут, затем в течении 30 минут был неподвижен (на расстоянии 1,2 км от начала пути), затем двигался со средней скоростью 9,6 км/ч до конца пути. Этот ответ - наилучшая оценка скорости движения на всем пути. А в задаче требуют дать единственную оценку скорости (2 км/ч) для всего отрезка времени в 1 час ( не лучшее приближение). С такой средней скоростью (2 км/ч) мальчик не двигался вовсе на всем протяжении времени или пути. Он либо двигался с большими ср. скоростями (от 0 до 25ой минуты (ср.ск=2,88) и от 55 до 60-ой минуты (ср.ск=9,6), либо был неподвижен в течение от 25-ой до 55-ой минуты движения.
(Не будем придираться к значениям скорости в отдельных точках, основная оценка - на интервалах).

На графиках движения видно, что ср. скорость 2 км/ч (голубой цвет) не является "средней" как по времени, так и по пройденному пути. Она - "нижняя" на первом и третих отрезках времени и "ложная" - на втором. То есть эта оценка скрыла тот факт, что в течении 30 минут (от 25 до 55-ой) движения не было.

[PapaKarlo]

Архипов в сообщении #346983 писал(а):

Решение не соответствует определению средней скорости (ср.скор=путь/время движения). Ответ: 2 км/30мин = 4 км/ч."От перестановки мест слагаемых сумма не меняется". Переставим "затем полчаса отдыхал" в конец (после того, как пробежал 800 м). Что получим? Парадокс. То есть время отдыха учитывать не нужно в любом случае, так как в это время движения не было. Мальчик мог отдыхать и год, но на среднюю скорость движения год отдыха не должен влиять.

1) Решение противоречит приведенному Вами определению - это верно. Но достаточно изменить определение, скажем, так: средняя скорость равна отношению пройденного пути ко времени, затраченному на прохождение этого пути (в таком варианте время движения явно не упоминается), и все становится на свои места. А такое определение ничуть не хуже.

2) От перемены мест слагаемых в данном случае все же что-то меняется. Мальчик устал даже от ходьбы. Сделаем перемену мест: заставим мальчика сначала бежать, потом идти; а потом уже пусть отдыхает. Из физических соображений (а задача - физическая) можно допустить, что на преодоление участка 1,2 км запыхавшемуся и уставшему мальчику потребуется больше времени по сравнению с исходным условием.

3) Наконец, представим себе движение автомобиля в дорожной пробке длиной 3 км. Автомобиль движется 30 метров со средней скоростью 9 км/ч, затем стоит 1 минуту 48 секунд. В этом случае Вы тоже предложите игнорировать паузы и будете настаивать, что автомобиль проехал путь 3 км за три часа двадцать минут со средней скоростью 9 км/ч, и что это значение

Архипов в сообщении #347676 писал(а):

служит наилучшим приближением к действительной скорости на указанном пути

А ведь в определенных практических ситуациях - допустим, человек ездит на работу и 4 дня из пяти попадает в пробку; а опаздывать нельзя - такой вывод весьма неадекватен: определяя "среднюю скорость" по Вашему рецепту и зная длину пробки, человек рассчитает, когда выезжать и опоздает наверняка.

Другое дело, что приведенная Вами задача составлена по принципу "а чтобы такого придумать, чтобы напрячь школьника", вместо "чтобы помочь ему понять" и полученный результат качественно эквивалентен средней температуре пациентов по больнице - тут я с Вами согласен. Т.е. вопрос надо ставить не о том, как определять среднюю скорость, а об адекватности физических определений предлагаемым для изучения этих определений задачам. Для средней скорости (скажу скромно ) мне больше нравится задача с автомобилем в пробке - вполне практична.

[Gravist]

Дж.Орир в "Физике" (М., Мир, 1981) на стр.26 хорошо рассматривает понятие средней скорости.
Расчёты в физике производятся математическими методами и по математическим определениям и законам.
Дабы избежать казуистической логики, следует воспользоваться определением математического среднего и физического определения мгновенной скорости. Для вычисления среднего значения необходимо учитывать весовой множитель каждого события, дающего вклад в среднее. По предложенной задаче получаем:

$$V_c_p = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2 + V_3 t_3}{t_1 + t_2 + t_3}$ (по определению средневзвешенного).

Если бы вместо $t_1 , t_2 и $t_3$ в качестве весовых множителей использовались расстояния $x_1 , x_2 и $x_3$, то получили бы скорость, усреднённую по расстоянию.
Скорость, усреднённая по расстоянию, используется в гидродинамике.
В кинематике принято считать, что средняя скорость - это скорость, усреднённая по времени, если специально не оговаривается противное.
У уважаемого топикстартёра понятие пути не оговорено в смысле расстояния, ибо путь, как логическое понятие, содержит и расстояние, и время.
Не стОит загружать детей казуистикой определений! Пусть они знают, что нулевая скорость тоже участвует в процессе движения.

[Архипов]

Пытаюсь докопаться: в чем же дело?

1)Типичные задачи "на среднюю скорость", оказывается, включены в экзамен (ЕЭГ) по математике. Причем отдельной темы "средняя скорость" в программе по математике не нашел. Нашел в сети только такое высказывание: "" Вводится важнейшее для практических вычислений понятие среднего арифметического, которое связывается с понятием средней скорости. Задачи на движение по реке и на среднее арифметическое решаются как арифметически, так и с помощью уравнений."" 5-6 класс .(SB-CSh2007.indd 48)
2) В программе по школьной физике (кинематика) даются понятия
"скорость" - метрологическое определение v=s/t при условии раномерного прямолинейного движения.
"мгновенная скорость" - скорость в определенный момент времени (дифференциальное определение).
"средняя скорость" v=r/t- вектор перемещения, деленный на затраченное время.
"средняя путевая скорость"v=s/t - пройденный путь, деленный на затраченное время в пути.
Указано: "Понятие средней скорости введено для неравномерного движения, когда закон изменения скорости НЕ задан, для приблизительной оценки скорости. Решить точно основную задачу механики через среднюю скорость нельзя". В классической механике такие задачи не рассматриваются.
===========================
3) Делаю (из 1) и 2)) предположение:
Задачи на "среднюю скорость" в РФ задают на уроках математики в теме "среднее арифметическое" на примерах "типичных задач":
**** катер по течению реки из пункта А в пункт Б прошел со скоростью 12 км/ч, обратно прошел со скоростью 8 км/час. Какая средняя скорость катера была на всем пути (туда и обратно)? Решение алгебраическое:
L/12+L/8=2t откуда L/t=9,6
**** катер по течению реки прошел со скоростью 12 км/ч, обратно прошел со скоростью 8 км/час. При этом затратил одинаковое время на движение туда и обратно. Какая средняя скорость катера была на всем пути (туда и обратно)? Решение алгебраическое:
12t+8t=2L___L/t=10.
*Для арифметического решения первой задачи достаточно ввести произвольное расстояние, для решения второй - произвольное время или просто вычислить "средне-арифметическую скорость".
Причем в обоих задачах легко решается оновная задача механики - предсказать положение тела для любого момента времени на всем пути, так как заданы постоянные скорости (12 и 8), то есть заданы два последовательных отрезка равномерного движения, а "средняя скорость" для предсказания вовсе не нужна.
=====
Задачи с более запутанным сюжетом (например: обсуждаемая в теме задача) - результат творчества составителей задач (для "олимпийской загрузки школьников"). Нужно, с олимпийским спокойствием, арифметически посчитать сумму пройденных растояний, поделить ее на сумму затраченного времени и ответ готов (Vcр=L/T). А для какой практической надобности вычисляли эту "среднюю скорость" - совершенно не важно. Главное - знать как решать! Для сдачи ЕЭГ.

==
Предположения о принадлежности задачи к "кинематике" либо к "статистике" не подтвердились.

[photon]

в Карантин. Правьте формулы