Непрерывные дроби

[juna]

Известно, что $\left ( \frac{1}{A_{(2n+1)}+\frac{1}{{A_{(2n+1)}+\frac{1}{A_{(2n+1)}+...}}}}}}\right )\cdot \left ( \frac{1}{A_{2n}-\frac{1}{{A_{2n}-\frac{1}{A_{2n}-...}}}}}}\right )=\left ( \frac{1}{A_{(4n+1)}+\frac{1}{{A_{(4n+1)}+\frac{1}{A_{(4n+1)}+...}}}}}}\right )$.
Найдите последовательность $A_n$.

[Руст]

Есди обозначить ${A_{2n+1}=2shx,A_{2n}=2chy$, то решением будет $A_{4n+1}=2sh(x+y)$.
Я думаю, вы хотели более конкретного. Для этого необходимо дополнительно сказать, что все члены последовательности натуральные.

[juna]

Да, конечно. Члены последовательности натуральные числа.

[Руст]

Но и это не дает однозначного решения. Пусть a,b корни уравнения $z^2-Az-1=0$
с натуральным А. Если $x=ln(\frac{A+\sqrt{A^2+4}}{2})$, то A=2shx и годится
$A_{2n+1}=a^k+b^k=2sh(kx),A_{2n}=a^m+b^m=2ch(mx),A_{4n+1}=2sh(k+m)x$ при условии, что k нечётное, m чётное.
Однако, однозначность возникает при задании $A_1,A_2$, тогда используя, что это система равенств (для всех n), получаем рекурентное соотношение:
$A_{n+1}=AA_{n}+A_{n-1}$.

[juna]

Вы дали самое полное решение.
Я привязывался к золотому сечению, поскольку
$\left (\frac{\sqrt 5-1}{2}\right )^{2n+1}=\left ( \frac{1}{A_{(2n+1)}+\frac{1}{{A_{(2n+1)}+\frac{1}{A_{(2n+1)}+...}}}}}}\right )$
$\left (\frac{\sqrt 5-1}{2}\right )^{2n}= \left ( \frac{1}{A_{2n}-\frac{1}{{A_{2n}-\frac{1}{A_{2n}-...}}}}}}\right )$, где $A_n=\left (\frac{1+\sqrt 5}{2}\right )^n+\left (\frac{1-\sqrt 5}{2}\right )^n$

[Руст]

На самом деле однозначности нет только из условий, связывающих A(2n+1),A(2n),A(4n+1) даже для натуральных значений. Я несколько приврал.

[juna]

Докажите тождество:
$1=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5+...}}}}}+\frac{1}{3-\frac{2}{4-\frac{3}{5-\frac{4}{6-\frac{5}{7-...}}}}}$

[Vvp_57]

juna в сообщении #346369 писал(а):

Докажите тождество:
$1=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5+...}}}}}+\frac{1}{3-\frac{2}{4-\frac{3}{5-\frac{4}{6-\frac{5}{7-...}}}}}$

А будет ли доказательством равенство:
$\frac{1}{e-1}+\frac{e-2}{e-1}=1$
Где $e=2,71828182845.....$

[juna]

Это будет последней строчкой доказательства, но не доказательством.