1 не равно 1

[FunctionBuble]

На первом курсе у нас был преподаватель, который с использованием комплексных чисел сумел доказать
что $1\not=1$. Не могу никак вспомнить в чём заключается фокус, но махлёвки никакой не было. Знак равенства всегда ставился обосновано на каждом шаге доказательства.
Может кто-нибуть помнит как это делается.
Что то типа :
$1=1+1-1=1+1+i^2 = ...$
Ну не помню и всё!!

// 23.08.10 тема перемещена в Карантин до уточнения. 24.08.10 возвращена. / GAA

[Garik2]

Любая попытка довести до такого неравенства - суть математическое мошенничество.

[AD]

Не фаааакт. А вдруг арифметика противоречива? Никто же не "довёл" (с) FunctionBuble пока ... Тогда вся математика окажется мошенничеством, а попытка - правдой.

Правда, говорят, против этого какие-то-там философские аргументы есть, ну так мало ли ...

[Garik2]

Пока что противоречивая арифметика наблюдается только в сфере подсчета денег. Например, из бюджета на нужды народа выделили 1 млрд. рублей. Если эти деньги проходят через руки чиновников, то наблюдается тождество 1=0.

[AD]

Цитата:

$1=2$ при достаточно больших значениях $1$

[Garik2]

AD в сообщении #346539 писал(а):

Цитата:

$1=2$ при достаточно больших значениях $1$

Не согласен. 1 триллион долларов и 2 триллиона - две большие разницы

[Коровьев]

$1= -1$
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%BA%D1%81

[zZoMROT]

Garik2 в сообщении #346594 писал(а):

AD в сообщении #346539 писал(а):

Цитата:

$1=2$ при достаточно больших значениях $1$

Не согласен. 1 триллион долларов и 2 триллиона - две большие разницы

1 триллион долларов и 2 триллиона зайчиков, где 1 зайчик=0.5 доллара

Из серии $23*0=0 => 0/0=23$, $64/16=4/1=4$ и пр.

Пусть $A=4, B=5, C=1$ тогда
$C=B-C |$x$(B-A)$
$C(B-A)=(B-A)^2$
$CB - CA = B^2 - 2AB + A^2 |-A^2$
$CB - CA - A^2 = B^2 - 2AB |+AB$
$AB + CB - CA - A^2 = B^2 - AB |-CB$
$AB - CA - A^2 = B^2 - AB - CB$
$A(B - C - A) = B(B - C - A)$
$A = B$
$4=5 => 2$x$2=5 $

[sergey1]

$1=1$
$-1=-1$
$\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}$
$\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}$
$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$
$\frac{1}{i}=\frac{i}{1}$
$i^2=1$
$-1=1$

[neo66]

Определите сначала, что такое $\sqrt{-1}$. И что такое $\sqrt{1}$.

[ewert]

Да нет, всё нормально. Это -- хорошая иллюстрация того, что нельзя формально определять $i$ как $\sqrt{-1}$ (как довольно часто делают, и даже во вполне серьёзных книжках -- правда, не математических).

Да, кстати, а в этой статье

Коровьев в сообщении #346968 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81

объяснение очень странное:

Цитата:

Проблема в данном ходе рассуждений находится в неверном приравнивании (теряется комплексное значение):

(1/(-1))^1/2 = 1/(-1)^1/2

Формулировка "теряется комплексное значение" совершенно непонятна; а если её вдруг удастся-таки понять, то, боюсь, она окажется неверной.

[Андрей АK]

Можно упростить.
Не используя деления, а только умножения:

$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$

сразу видно где ошибка

$\sqrt{1}=+1 , -1$
($\sqrt{-1}=+i , -i$)

PS
Видно то видно, но непонятно.
В смысле - как можно предотвратить ошибки, порождаемые множественными значениями функций.
Я знаю что для этой цели придуманы Римановы поверхности ... но как вот с точки зрения этих поверхностей можно исправить приведенные "расчеты"?

Мне не очень понятно ...

[Инт]

Андрей АK в сообщении #350078 писал(а):

$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$
сразу видно где ошибка...Видно то видно, но непонятно...

Похоже, Вы сами и ответили на вопрос. Раз операция извлечения корня неоднозначна с каждой стороны равенства, то приписывая с каждой стороны формального равенства неравные значения - как итоги операции, получаем, что $1=-1$.

[BoBuk]

Не знаю, было ли?...
$1^1 = 1$ также $1^0 = 1$
Тогда $1 = 0$
Щютка.

[Андрей АK]

Инт в сообщении #350247 писал(а):

Андрей АK в сообщении #350078 писал(а):

$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$
сразу видно где ошибка...Видно то видно, но непонятно...

Похоже, Вы сами и ответили на вопрос. Раз операция извлечения корня неоднозначна с каждой стороны равенства, то приписывая с каждой стороны формального равенства неравные значения - как итоги операции, получаем, что $1=-1$.

Да, но меня другое смущает.

Представте себе что вместо единицы и произведения минус единиц находятся функции ,которые мы пока не вычислили.
Т.е. вместо $-1 \cdot -1$ рассматриваем $A \cdot B $ - это некая фрагментация исходной функции, которая нам понадобилась для упрощения расчетов (всю функцию мы вычислить не можем - слишком сложно, а вот по частям - получилось).

Но теперь оказывается, что нам надо выбрать (после вычисления, например $\sqrt{B}$) - какое из значений корня из минус единицы взять, чтоб произведение $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} $ дало единицу.

Если посмотреть на это с точки зрения теории алгоритмов то получаем странную картину: у нас есть два параллельных алгоритма ($ \sqrt{A} $ и $ \sqrt{B} $), каждый из которых выдаёт два значения функции , и нам надо знать - какое же значение было выбрано в смежном расчете, чтоб выбрать правильное значение в этом.

Однако никакой другой передачи информации (кроме параметров функции) в теории алгоритмов не предусмотренно.

Получается, как в квантовой механике - пока результат каждого из расчетов неопределен, каждый из алгоритмов выдает два варианта ответа, но эти варианты как-то связаны - мы не можем просто перемножить все комбинации и получить ответ (среди полученных ответов будут и неправильные) - нам обязательно надо знать - какой вариант был выбран в смежном расчете и только после этого мы можем выбрать вариант в текущем.
Т.е. как только одна из "частиц" подверглась наблюдению, это тут же повлияло на "спутанную" с ней "частицу".

Например, если первая функция выдала ответ $-i, то у второй функции надо взять $+i (чтоб их произведение получилось равным единице).
Но это только когда мы слева от знака равенства взяли за ответ единицу.
А вот когда мы там поставим другой вариант, то это "волшебным образом" должно повлиять на работу обоих алгоритмов справа.

Т.е. чтоб правильно посчитать функцию, нам надо заранее знать ответ?