Становится всё интереснее...
Кстати, решений в положительных рациональных числах, судя по всему, бесконечно много для каждого
.
Рассмотрим подробнее случай
.
В этом случае знаменатели одинаковы, и для каждого значения знаменателя количество решений конечно. Скажем, для знаменателя
мы имеем четыре решения (приведены числители):
Вообще, для знаменателей, имеющих лишь один простой делитель, мне удалось найти только по четыре решения. Знаменатель
дал восемь результатов:
Следующий знаменатель с восемью результатами -
, затем идут
,
,
и так далее. Более восьми решений (а именно шестнадцать) даёт знаменатель
:
Похоже, что решения есть для таких и только таких знаменателей, все делители которых имеют вид
, причём количество решений равно
, где
- количество простых делителей.
Доказательство этого предположения могло бы начаться с того факта, что решение
существует тогда и только тогда, когда
делит
(при этом знаменатель равен
).
Вот список всех найденных мной решений со знаменателями, не превышающими
:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z.txtИнтересно было бы поискать похожие закономерности для случаев
. Вот список найденных мной решений для
со знаменателями, не превышающими
:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z3.txt