Становится всё интереснее...
Кстати, решений в положительных рациональных числах, судя по всему, бесконечно много для каждого

.
Рассмотрим подробнее случай

.
В этом случае знаменатели одинаковы, и для каждого значения знаменателя количество решений конечно. Скажем, для знаменателя

мы имеем четыре решения (приведены числители):

Вообще, для знаменателей, имеющих лишь один простой делитель, мне удалось найти только по четыре решения. Знаменатель

дал восемь результатов:

Следующий знаменатель с восемью результатами -

, затем идут

,

,

и так далее. Более восьми решений (а именно шестнадцать) даёт знаменатель

:


Похоже, что решения есть для таких и только таких знаменателей, все делители которых имеют вид

, причём количество решений равно

, где

- количество простых делителей.
Доказательство этого предположения могло бы начаться с того факта, что решение

существует тогда и только тогда, когда

делит

(при этом знаменатель равен

).
Вот список всех найденных мной решений со знаменателями, не превышающими

:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z.txtИнтересно было бы поискать похожие закономерности для случаев

. Вот список найденных мной решений для

со знаменателями, не превышающими

:
http://www.primefan.ru/stuff/math/z3.txt