Просто задача с шарами по вероятности

[spraux]

В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули один
шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли
еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что
первый шар, отложенный в сторону, — тоже белый.

Я не понимаю, что дает информация о том, что 2-й шар белый. Я думаю, что ответ
a/(a+b), так как пофигу на второй шар, для первого он погоды не делает. В ответе в сборнике (a-1)/(a+b-1), но это, по-моему, соответствует ситуации, когда известный белый шар достали первым, а вероятность того, что 2-й белый надо найти.
Подскажите, ошибка в сборнике или у меня в голове?

[PAV]

В задаче требуется найти условную вероятность одного события при условии наступления другого. Она будет отлична от безусловной.

(Например, если $a=1$, тогда ясно, что ответ будет равен нулю).

[sergey1]

Цитата:

Я не понимаю, что дает информация о том, что 2-й шар белый.

А представьте, что в урне было 10 черных и один белый. И второй вытащенный оказался белым. Тогда все ясно - вероятность того, что первый был белым равна $0$.
А если 10 черных и 2 белых? 3 белых?
Так что эта информация важна.

Сначала почитайте про формулу Байеса, а потом подумайте что назвать гипотезами $H_1$ и $H_2$, а что событием $A$

[gris]

Попробуйте поменять два указанных события во времени. Ничего не изменится.

[spraux]

Спасибо, в сборнике перед этим заданием давалась теория только о безусловной вероятности.

[gris]

Совершенно верно.
Если бы была задача: Из урны вынимаются подряд все шары. Какова вероятность вынуть белый шар первым, вторым, десятым, последним? То эта вероятность будет каждый раз одна и та же - $a/(a+b)$.

Ваша задача равносильна такой - из урны вынули белый шар. Какова вероятность вынуть второй белый шар.
И даже такой: из урны подряд вынули все шары, последним был белый. Какова вероятность, что первым (или третьим) был тоже белый шар.

Вынимание белого шара можно произвести и с открытыми глазами. То есть взять и вынуть именно белый шар. И мы получим как бы новую урну, в которой уже сколько каких шаров?

[PAV]

gris в сообщении #346262 писал(а):

Попробуйте поменять два указанных события во времени. Ничего не изменится.

Мне кажется, что с точки зрения учебной задачи это не очень правильный совет. Дело в том, что правильно и строго обосновать это замечание - задача для учащихся не из простых. Посчитать в явном виде то, что требуется, по известным формулам, гораздо проще и понятнее.

[gris]

Ровно эти же задачи у Вентцель идут под первыми номерами, когда нет ни условной вероятности, ни Байеса. Понять новичкам бывает и не просто, но тут же задача именно научить пониманию. Если нашу урну вслепую разбить на две неравные урны, то вероятность вытащить белый шар будет равной в каждой урне. Тут таится самоя мякотка теории вероятностей. И кто её ухватит без формул, тот будет разбираться и в формулах. К сожалению, студенты именно на первых задачах особо и не задумываются. Им философия не нужна, главное - узнать, когда и какую формулу применять.

Впрочем, тут исключительно по классическому определению вероятности. Количество благоприятствующих случаев поделить на общее количество случаев.