Геометрическая задача

[Побережный Александр]

На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие вне треугольника.
Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов.
К сожалению, я ее пока не решил.

[maxmatem]

Чем-то задачу Наполеона напоминает(только там кажется равносторонний треугольник был). В книге Яглом.И.М "Геометрические преобразования " есть полное решение.

[ShMaxG]

У меня получилось $\frac{1}{4} (a+b)^2$. Впрочем, идея просто никакая...

[Побережный Александр]

Не подскажете как вы рассуждали?

[gris]

Идея вполне понятная. Возмём один катет $a$ очень маленьким, другой $b$ очень большим. Тогда искомый треугольник будет приближённо располагаться большей стороной перпендикулярно катету $b$, она будет проходить через его середину, а высота будет приближённо равна половине катета $b$, то есть площадь будет приближённо равна $b^2/4$. Чтобы $a$ не было обидно, просто прибавим его к $b$.
А можно на гипотенузе как на диаметре построить окружность.

[ShMaxG]

Побережный Александр
Да я с помощью векторов решил, по координатам трех вершин. Но писанины там много, конечно... А в конце все по-сокращалось.

gris в сообщении #345707 писал(а):

Чтобы $a$ не было обидно, просто прибавим его к $b$.

С чего это? Впрочем, а что с ним еще делать, не отнимать же.

-- Пт авг 20, 2010 15:52:31 --

Все, придумал! Нужно нарисовать прямоугольник вокруг треугольника, площадь которого ищем. И чтобы стороны прямоугольника были параллельны катетам исходного. Все легко находится. Ответ тот же.

[ShMaxG]

Картинка (сорри за качество). Здесь $c=a+b$.

[Побережный Александр]

То, что можно построить такой прямоугольник, очевидно. Но как обосновать, что длины его сторон соответствуют величинам, указанные вами? Рассуждения дальнейшие понятны, просто отрезаем от прямоугольника лишние части.

[ShMaxG]

Побережный Александр в сообщении #345922 писал(а):

ТНо как обосновать, что длины его сторон соответствуют величинам, указанные вами?

А в чем проблема? К катетам пририсованы квадраты (по усл.), так что с отрезками длиной $a/2$ и $b/2$ должно быть все понятно. Чтобы понять, почему один из отрезков имеет длину $c/2$, можно дорисовать картинку: составить из исходного прямоугольного треугольника квадрат (см. рисунок 1 на http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0). Собственно, решение данной задачи мне подсказал один из методов док-в теоремы Пифагора.

[Побережный Александр]

Спасибо, наконец я представил картинку! Необычное решение.