Хорда непрерывной замкнутой несамопересекающейся кривой

[sergey1]

Всегда ли у замкнутой несамопересекающейся непрерывной кривой существует хорда
а) находящаяся внутри кривой
б) отрезающая от внутренности кривой выпуклый кусок

[paha]

"внутри кривой $C$"= в ограниченной компоненте $\mathbb{R}^2\setminus C$

[terminator-II]

sergey1 в сообщении #345890 писал(а):

Всегда ли у замкнутой несамопересекающейся непрерывной кривой существует хорда
а) находящаяся внутри кривой

берем максимальное ($\subseteq$) выпуклое замкнутое множество лежащее внутри кривой, такое множество существует по лемме Цорна. Вроде бы можно доказать, что граница этого множества пересекается с кривой не менее чем в двух точках. Тогда хорда будет получена.

sergey1 в сообщении #345890 писал(а):

б) отрезающая от внутренности кривой выпуклый кусок

Такую хорду, наверное, вообще говоря, найти нельзя. Для примера, наверное, нужно взять кривую типа графика всюду непрерывной но нигде не диффиренцируемой функции из примера Вейерштрасса.

[sergey1]

paha в сообщении #345947 писал(а):

"внутри кривой $C$"= в ограниченной компоненте $\mathbb{R}^2\setminus C$

да

-- Сб авг 21, 2010 22:12:06 --

Цитата:

берем максимальное выпуклое замкнутое множество лежащее внутри кривой, такое множество существует по лемме Цорна.

Кривая состоит из двух дуг окружностей с общими концами (снеговик без головы), внутренность невыпукла. Что здесь максимальное выпуклое замкнутое множество?

[Алексей К.]

Цитата:

б) отрезающая от внутренности кривой выпуклый кусок

Такой хорды нет у астроиды.

[terminator-II]

Алексей К. в сообщении #345968 писал(а):

акой хорды нет у астроиды.

как оказываетЦО все просто

[sergey1]

terminator-II в сообщении #345971 писал(а):

Алексей К. в сообщении #345968 писал(а):

акой хорды нет у астроиды.

как оказываетЦО все просто

Действительно!
Спасибо, Алексей К

-- Сб авг 21, 2010 22:46:44 --

На самом деле мне был важен ответ на вопрос б). Если бы такая хорда всегда сущесвтвовала, тогда всегда существовал бы правильный треугольник две вершины которого лежат на кривой, а третья внутри. Это надо было в теме http://dxdy.ru/topic35703.html Я доказал существование такого треугольника по-другому.
А вопрос а) просто интересно.

[Padawan]

К вопросу а):
Берём точку внутри кривой, проводим через неё прямую. Ближайшие две точки пересечения с кривой - концы хорды.

[sergey1]

А почему ближайшие найдутся?
Наверное это как нибудь следует из компактности данной кривой?

[Padawan]

Потому что кривая -- замкнутое ограниченное множество, значит её пересечение с прямой такое же.

[sergey1]

Спасибо :)