Прямая и обратная теорема

[Sasha2]

Вот говорят, что к любой теореме можно сформулировать обратную.
У меня вызывает затруднение формулировка (доказывать не надо) теорема, обратная к теореме Эйлера о девяти точках.

[venco]

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если не Б, то не А.
Применительно к девяти точкам: если девять точек треугольника не лежат на одной окружности, то как минимум одна из них ни основание высоты, ни середина стороны, ни середина отрезка, соединяющего ортоцентр с вершиной треугольника.

[Sasha2]

Нет - это не обратная. Это ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ теорема.
Это не совсем одно и тоже.

[venco]

Не согласен. Это ни обратная, ни противоположная, а эквивалентная.

Обратная: если девять точек треугольника лежат на одной окружности, то они являются тремя основаниями высот, тремя серединами сторон, и тремя серединами отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
Очевидно, в данном случае обратная теорема не верна.

Интересно, верна ли такая:
любые девять точек одной окружности являются тремя основаниями высот, тремя серединами сторон, и тремя серединами отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами какого-нибудь треугольника.

[Sasha2]

А Вы уверены, что Ваша формулировка имеет смысл?
Ведь, как известно, окружность определяется любыми своими тремя точками.
Это первое.
А второе состоит в том, что окружность Эйлера не единственная окружность, которая пересекает каждую сторону треугольника в двух точках.
Поэтому Вашу формулировку я считаю неверной.

[venco]

А никто и не обещал, что обратная теорема будет верной.

[Sasha2]

Она у Вас не только не верна, она у Вас бессмыслена. Вот в чем проблема.
К тому же Вы забываете еще о том, что в прямой теореме имеется указание еще и на центр данной окружности.
У Вас же это полностью отсутствует.

-- Пт авг 20, 2010 23:52:40 --

Может быть (не очень уверен в правильности) обратная теорема должна звучать так:
Шестью точками треугольника (лежащими на сторонах, а не внутри), равноудаленными от такой-то и такой то точки, явлются основания высот и середины сторон этого треугольника.

[venco]

Sasha2 в сообщении #345833 писал(а):

Она у Вас не только не верна, она у Вас бессмыслена. Вот в чем проблема.

В чём "бессмысленность"?

Sasha2 в сообщении #345833 писал(а):

К тому же Вы забываете еще о том, что в прямой теореме имеется указание еще и на центр данной окружности.

Обычно в формулировке теоремы центр окружности не фигурирует, а приводится как дополнительное свойство.

Sasha2 в сообщении #345833 писал(а):

Может быть (не очень уверен в правильности) обратная теорема должна звучать так:
Шестью точками треугольника (лежащими на сторонах, а не внутри), равноудаленными от такой-то и такой то точки, явлются основания высот и середины сторон этого треугольника.

А куда делись ещё три точки? К тому же расположение шести точек на сторонах - это свойство их определения, и в теореме не фигурирует.

Ещё раз напомню, обратная теорема (как и эквивалентная ей противоположная) далеко не всегда верна.

[Sasha2]

Три точки никуда не делись.
Но я уже ведь сказал, что окружность определяется своими тремя точками.
Поэтому, Вы можете спокойно дальше показать, что и эти три точки также лежат на этой окружности.

А если уж до конца, то наверно правильней эту обратную теорему формулировать так (опять же не уверен):
Если окружность проходит через три любые точки из девяти (ну понятно о чем идет речь), то она проходит и через остальные шесть.

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #345822 писал(а):

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если не Б, то не А.

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если Б, то А. (Может быть ложна, даже если прямая теорема истинна)
Противоположная: если не А, то не Б.
Обратная к противоположной: если не Б, то не А. (Истинна, тогда и только тогда, когда прямая теорема истинна)

(Оффтоп)

Уточнил по требованию участников.

Пример. Если число делится на 4, то оно делится на 2. (Истина)
Обратная: Если число делится на 2, то оно делится на 4. (Ложь)
Противоположная: Если число не делится на 4, то оно не делится на 2. (Ложь)
Обратная к противоположной: Если число не делится на 2, то оно не делится на 4.
(Истина)

[Sasha2]

Это все очень хорошо, но только на практике не все так гладко:
Например, поробуйте вот также легко сформулировать все эти теоремы, взяв за пряму теорему, чледующее утверждение:

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

[venco]

Sasha2 в сообщении #345841 писал(а):

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Это аксиома.

[Виктор Викторов]

Правильно мыслите. Теперь я начну, а Вы продолжайте.

Если есть две различные точки, то …

(При этом аксиома остается аксиомой. Аксиома отличается от теоремы тем, что принимается без доказательства, а не структурой).

Аксиома параллельности Евклида две тысячи лет была теоремой.

[alex1910]

Виктор Викторов в сообщении #345840 писал(а):

venco в сообщении #345822 писал(а):

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если не Б, то не А.

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если Б, то А. (Может быть ложна, даже если прямая теорема истинна)
Противоположная: если не А, то не Б.
Обратная к противоположной: если не Б, то не А. (Истинна, если прямая теорема истинна)

Пример. Если число делится на 4, то оно делится на 2. (Истинна)
Обратная: Если число делится на 2, то оно делится на 4. (Ложь)
Противоположная: Если число не делится на 4, то оно не делится на 2. (Ложь)
Обратная к противоположной: Если число не делится на 2, то оно не делится на 4.
(Истинна)

"Противоположная" совпадает(равносильна) с обратной.
"Обратная к противоположной" совпадает(равносильна) с прямой. :) :) :)

[venco]

Sasha2 в сообщении #345841 писал(а):

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Да, Вы пропустили слово "различные".
Прямая: если две точки различны, то через них можно провести ровно одну прямую.
Обратная: если через две точки можно провести ровно одну прямую, то они различны.