Доказательство предела функции по определению дельта епсилон

[hlynd]

(поменял$|x-1|$ на$|x+1|$, простите за ошибку).

Хочу доказать $\lim\limits_{x \to -1}\frac{x+4}{x-3}=-\frac{3}{4}$ по определению .

Моя попытка:

Для доказательства $\lim\limits_{x \to -1}\frac{x+4}{x-3}=-\frac{3}{4}$, согласно определению предела функции, для произвольного заданного $\varepsilon>0$ следует найти число $\delta>0$ такое,
что $\forall x$, $|x-(-1)|<\delta \iff |x+1|<\delta $ выполнялось бы неравенство $|\frac{x+4}{x-3}-(-\frac{3}{4})|<\varepsilon \iff |\frac{x+4}{x-3}+\frac{3}{4}|<\varepsilon $ . Неравенство
$|\frac{x+4}{x-3}+\frac{3}{4}|<\varepsilon $ надо записать таким образом что-бы
$|x+1|$ был "изолированным". Тогда положив например (не теряя общности) что
$|x+1|<\delta = 1 $ и на основе этого определить $\delta = min \{1, *\} $ где $*$ зависит от оставшейся части неравенства.
Но я не могу "изолировать" $|x+1|$.


Правильнй ли у меня подход?
Как "изолировать" $|x+1|$?
Знаете ли вы учебники, в которых объясняется, как решать подобные примеры.

$|\frac{x+4}{x-3}-(-\frac{3}{4})|<\varepsilon \iff |\frac{x+4}{x-3}+\frac{3}{4}|<\varepsilon \iff |\frac{4x+16+3x-9}{4x-12}|<\varepsilon \iff \newline \frac{|7x+5|}{|4x-3|}<\varepsilon$

А дальше как ?

[Padawan]

Можно же не точное значение $\delta$ находить, а с запасом, лишь бы неравенство выполнялось. Оцените что-нибудь, чтобы упростить.

[cyb12]

hlynd в сообщении #345717 писал(а):

Как "изолировать" $|x-1|$?

А почему не $|x+1|$?

[gris]

Почему $|x-1|$? Сами же пишете правильно: $|x+1|$/ Будьте аккуратнее с арифметикой.

$\left|\dfrac{x+4}{x-3}-(-\dfrac{3}{4})\right|<\varepsilon \iff \left|\dfrac{7x+7}{4x-12}\right|<\varepsilon \iff $

[hlynd]

Спасибо gris,
да $16-9=7$ а не $5$.
В следуюший раз буду вниматльней.

Cпасибо Padawan,
если столкнусь с более трудным примером буду оценять.