Распределение Рэлея

[geomath]

Рассмотрим распределение Рэлея с параметром (модой) s, функцией распределения F(x, s) и плотностью вероятности f(x, s). Поскольку f(x, s) имеет точку перегиба x(s) > 0, то проинтегрируем f(x, s) по x от 0 до этой самой точки x(s). Я подозреваю, что результат не будет зависеть от s.

Иначе говоря, F(x(s), s) = const (так сказать, константа Рэлея ). Как это доказать?

[--mS--]

geomath в сообщении #344841 писал(а):

Иначе говоря, F(x(s), s) = const (так сказать, константа Рэлея ). Как это доказать?

Взять и посчитать. Точка перегиба линейно зависит от $s$ (т.е. от $\sigma$), функция распределения дана.

[geomath]

--mS-- в сообщении #344882 писал(а):

Взять и посчитать. Точка перегиба линейно зависит от $s$ (т.е. от $\sigma$), функция распределения дана.

Да, наверное. Скорее всего, $x(s) = \sqrt 3 s$, так что $const = 1 - e^{-3/2}$. Нужно только аккуратно дважды продифференцировать $f$, чтобы проверить это $x(s)$.

-- Вт авг 17, 2010 18:10:42 --

Как думаете, а что это (эта константа) означает содержательно? Ведь распределение Рэлея имеет вполне содержательный смысл.

[PAV]

Это вероятность того, что случайная точка $(x,y)$, координаты которой независимы и распределены по стандартному нормальному закону, попадет внутрь единичного круга.

[--mS--]

Только не единичного, а с радиусом $\sqrt{3}$.

[geomath]

--mS-- в сообщении #345022 писал(а):

Только не единичного, а с радиусом $\sqrt{3}$.

Но с таким же успехом про любую вероятность $p$ можно сказать, что она есть вероятность попасть в круг с радиусом $\sqrt{-2\ln(1 - p)}$. Так что указанная постоянная, получается, ничем не выделяется?

[--mS--]

Сомневаюсь, что у точки перегиба плотности есть какой-то богатый физический смысл :)

[PAV]

--mS-- в сообщении #345022 писал(а):

Только не единичного, а с радиусом $\sqrt{3}$.

Да, я не очень внимательно прочел условие. Мне показалось, что в вопросе считается интеграл до самой моды $s$, а не то точки перегиба $x(s)$.

geomath писал(а):

Так что указанная постоянная, получается, ничем не выделяется?

Почти никакие "постоянные", которым Вы так любите придавать какой-то особенный смысл, ничем не выделяются. Ну является это число решением какой-то задачи, и что с того? Под любую величину можно подобрать задачу, решением которой это число будет являться.

[geomath]

--mS-- в сообщении #345035 писал(а):

Сомневаюсь, что у точки перегиба плотности есть какой-то богатый физический смысл :)

Я почему спросил. Просто у меня получился график - не плотности распределения Рэлея, конечно, но весьма похожий, где точка перегиба имеет вполне определенный "физический" смысл, да! Поэтому я и спросил про смысл перегиба в случае Рэлея.

[Александрович]

А какая случайная величина отложена по оси 0Х?