Логарифм, метод потенцирование, приведение к квадрату

[Abr]

Необходимо решить логарифмическое уравнение:

1. Методом потенцирования
$\log_{x-6}{(x^2-5)}=\log_{x-6}{(2x-19)}$
Пытаюсь решить кв-е уравнение, но под корнем отрицательное число:
$x^2-2x+14=0$
$D=4-56=\sqrt{-52}$
Возможно есть другие варианты решения ?

2. Приведение логарифмического уравнения к квадратному
1)$\log^2_2{4x}+\log_2{\frac{x^2}{8}}=8$

Пытаюсь решить:
$\log^2_2{4x}+\log_2{x^2}-\log_2{8}=8$
Но это уже не верно, т.к. замены распрастраняется логарифм с переменной, а здесь получается, что $\log_2{8}$ останется.
Подскажите пожалуйста ход действий.

2)$\frac{1}{5-\log_3{x}}+\frac{2}{1+\log_3{x}}=1$
Здесь я пытался вернуться к изнач-му варианту:
$\frac{\log_3{3}}{5\log_3{3}-\log_3{x}}+\frac{2\log_3{3}}{\log_3{3}-\log_3{x}}=1$
$\log{3}-\log{\frac{3^5}{x}+\log{3^2}-\log(3x)=1$
$\log{3}-\log{3^5}-\log{x}+\log{3^2}-\log{3}+\log{x}=1$
На этом этапе я понял, что идея бессмысленна. Подскажите ход действий. Извините, если допускаю грубые ошибки.

Документ с примерами я взял с сайта _gymn74.minsk.edu.by/sm.aspx?uid=123057

Буду благодарен также за лит-ру, в которой похожие примеры решаются.

[Sasha2]

А чего Вас так смутило $\log_2{8}$?
Это же обычная тройка. Ну и продолжайте преобразования.

[mihailm]

Школьные учебники читать не пробовали?
Очень помогает на начальном этапе

[gris]

Первое уравнение не имеет решений. Скорее всего, там опечатка и должно быть $(2x+619)$.

[AKM]

Abr в сообщении #344065 писал(а):

2)$\frac{1}{5-\log_3{x}}+\frac{2}{1+\log_3{x}}=1$

Здесь же напрашивается подстановка $t=\log_3 x$

[Abr]

Sasha2 в сообщении #344068 писал(а):

А чего Вас так смутило $\log_2{8}$?
Это же обычная тройка. Ну и продолжайте преобразования.

Спасибо, а я себе навыдумывал :\ Попытался дорешать:

$\log^2_2{4x}+\log_2{\frac{x^2}{8}}=8$
$\log^2_2{4x}+\log_2{x^2}-\log_2{8}=8$
$\log^2_2{4x}+2\log_2{x}-3=8$
$\log^2_2{4}+\log^2_2{x}+2\log_2{x}-3=8$
$\log_2{16}+\log^2_2{x}+2\log_2{x}-3=8$
$4+\log^2_2{x}+2\log_2{x}-3=8$
$\log_2{x}=t$
$t^2+2t-7=0$
$D=4+28=\sqrt{32}$

На этом моменте я задумался о том, все ли я правильно сделал ?

gris в сообщении #344095 писал(а):

Первое уравнение не имеет решений. Скорее всего, там опечатка и должно быть $(2x+619)$.

Спасибо :)

$\log_{x-6}{(x^2-5)}=\log_{x-6}{(2x+619)}$
$x^2-2x-624=0$
$D=4+4*624=\sqrt{2500}=50$
$x_{1,2}=\frac{2 \pm 50}{2}$
$26$ - подходит
$-24$ - не подходит

AKM в сообщении #344100 писал(а):

Abr в сообщении #344065 писал(а):

2)$\frac{1}{5-\log_3{x}}+\frac{2}{1+\log_3{x}}=1$

Здесь же напрашивается подстановка $t=\log_3 x$

Спасибо, подставляю:

$\frac{1}{5-\log_3{x}}+\frac{2}{1+\log_3{x}}=1$
$t=\log_3 x$
$\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}=1$
$\frac{1+t+10-2t-(5+5t-t-t^2)}{(5-t)(1+t)}$
$\frac{1+t+10-2t-5-5t+t+t^2}{5+5t-t-t^2}$
$t^2-5t+6=0$
$t_1=3, t_2=2$
$log_3{3}=1$
$log_3{2}=0.63097$
Спасибо gris исправил.

Делаю проверку:
$\frac{1}{5-1}+\frac{2}{1+1}=1$
Получается: $\frac{1}{4}$
Неужели ошибся :\

[gris]

2) $\log^2_2{4x}+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4}+\log_2{x})^2+2\log_2{x}-3=8$
Квадрат суммы не всегда равен сумме квадратов.

3) Не $x_1=3, x_2=2$, а $t_1=3, t_2=2$
$\log_3{x_1}=3, \log_3{x_2}=2$ и так далее.

Исправили, да не до конца

[Abr]

gris в сообщении #344408 писал(а):

2) $\log^2_2{4x}+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4}+\log_2{x})^2+2\log_2{x}-3=8$
Квадрат суммы не всегда равен сумме квадратов.

3) Не $x_1=3, x_2=2$, а $t_1=3, t_2=2$
$\log_3{x_1}=3, \log_3{x_2}=2$ и так далее.

Исправили, да не до конца

Спасибо! Получилось.

3) $log_3{27}=3$
$log_3{9}=2$ - подходит

Делаю проверку:
$\frac{1}{5-2}+\frac{2}{1+2}=1$

2) $\log^2_2{4x}+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4}+\log_2{x})^2+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4})^2+2\cdot\log_2{4}\cdot\log_2{x}+(\log_2{x})^2+2\cdot\log_2{x}-3=8$
$\log_2{16}+2\cdot2\cdot\log_2{x}+\log^2_2{x}+2\cdot\log_2{x}-3-8=0$
$\log_2{x}=t$
$4+4t+t^2+2t-3-8=0$
$t^2+6t-7=0$
$t_1=1$ - подходит
$t_2=-7$

Проверка:
$log_2{x}=1$
$\log^2_2{4\cdot2}+\log_2{\frac{2^2}{8}}=8$

Еще раз большое спасибо, что помогли :)

[lim0n]

Abr в сообщении #344506 писал(а):

...
$t_1=1$ - подходит
$t_2=-7$

Означает ли это, что второй корень ($t_2$) вам не подходит?

[Abr]

lim0n в сообщении #344525 писал(а):

Abr в сообщении #344506 писал(а):

...
$t_1=1$ - подходит
$t_2=-7$

Означает ли это, что второй корень ($t_2$) вам не подходит?

Да, не подходит.

[gris]

Почему не подходит? Вы путаете область значений с областью определения. Значение логарифма вполне может равняться минус семи.

[Abr]

lim0n в сообщении #344525 писал(а):

Abr в сообщении #344506 писал(а):

...
$t_1=1$ - подходит
$t_2=-7$

Означает ли это, что второй корень ($t_2$) вам не подходит?

Спасибо за замечание.

gris в сообщении #344613 писал(а):

Почему не подходит? Вы путаете область значений с областью определения. Значение логарифма вполне может равняться минус семи.

Спасибо, что объяснили, теперь буду знать.

Окончательный вариант:
2) $\log^2_2{4x}+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4}+\log_2{x})^2+2\log_2{x}-3=8$
$(\log_2{4})^2+2\cdot\log_2{4}\cdot\log_2{x}+(\log_2{x})^2+2\cdot\log_2{x}-3=8$
$\log_2{16}+2\cdot2\cdot\log_2{x}+\log^2_2{x}+2\cdot\log_2{x}-3-8=0$
$\log_2{x}=t$
$4+4t+t^2+2t-3-8=0$
$t^2+6t-7=0$
$t_1=1$ - подходит
$t_2=-7$ - подходит

Проверка:
$log_2{x}=1$
$\log^2_2{4\cdot2}+\log_2{\frac{2^2}{8}}=8$

$log_2{x}=-7$
$\log^2_2{4\cdot0.0078125}+\log_2{\frac{0.0078125^2}{8}}=8$