Отношение количества простых делителей до n к числу n.

[Батороев]

Уважаемые форумчане, прошу помочь разобраться с таким вопросом:

Существует ли предел отношения количества всех простых делителей всех нечетных чисел до числа $n$ к самому числу $n$?

[ewert]

Батороев в сообщении #344518 писал(а):

Существует ли предел отношения количества всех простых делителей всех нечетных чисел до числа $n$ к самому числу $n$?

Конечно.

[Батороев]

Уважаемый ewert, на чем основывается Ваша убежденность?

[ewert]

А Вы оцените это отношение чем-нибудь сверху.

(кстати, а почему именно нечётное?)

[ИСН]

Слова "всех простых делителей всех нечетных чисел" можно понимать как минимум тремя разными способами. Вот числа 3 и 9: сколько у них этих "всех" - 1, 2 или 3?

[ewert]

Это не имеет значения. Огрубим вопрос и заменим "количество простых делителей" на "количество простых сомножителей, в произведение которых это число раскладывается".

[ИСН]

Какое "это число"? Во входных данных было понятие "все числа".

[Батороев]

Понял, что вопрос поставлен нечетко.

У числа $1$ - $0$ простых делителей
$3$ - 1
$5$ - 1
$7$ - 1
$9$ - 2
$11$- 1
$13$ - 1
$15$ - 2
Итого для $n=15$ всего $1+1+1+2+1+1+2=9$ простых делителей (или сомножителей?).

-- 16 авг 2010 13:43 --

ewert в сообщении #344528 писал(а):

А Вы оцените это отношение чем-нибудь сверху.

(кстати, а почему именно нечётное?)

К сожалению, не помню, как это делается.

(хочу посмотреть, можно ли при помощи данного показателя для нечетных чисел доказать, что любое четное число может быть представлено в виде суммы не более, чем "?" простых чисел).

[mihailm]

а у 9 почему два простых делителя это 3 кратности 2?

[Батороев]

Ну мне вот надо так, чтобы у числа $9$ был показатель $2$, у $27$ - показатель $3$.
Подскажите, как это правильно назвать, и я далее буду придерживаться этих обозначений.

[ИСН]

Если так, то предел - бесконечность.

[mihailm]

Батороев в сообщении #344550 писал(а):

Ну мне вот надо так, чтобы у числа $9$ был показатель $2$, у $27$ - показатель $3$.
Подскажите, как это правильно назвать, и я далее буду придерживаться этих обозначений.

Вроде специального термина нет, можно количество простых с учетом кратности, это и будет новым термином), с учетом приведенного объяснения

А то что так надо, так это Ваше право ставить свою задачу

[Батороев]

ИСН в сообщении #344552 писал(а):

Если так, то предел - бесконечность.

Интуитивно тоже склонялся к такому мнению, но ни за, ни против аргументов не находилось.

Сейчас вроде немного "зацепился"... за сообщение mihailm'a

mihailm в сообщении #344553 писал(а):

Вроде специального термина нет, можно количество простых с учетом кратности, это и будет новым термином), с учетом приведенного объяснения

А не получается ли так, что я фактически считаю эти самые кратности... у "нечетного" факториала $n_1!$

Например,
$15_1 != 3^45^27^111^113^1$
$4+2+1+1+1=9$
где $15_1 !$ - произведение нечетных чисел до $15$.

[mihailm]

Батороев в сообщении #344557 писал(а):

А не получается ли так, что я фактически считаю эти самые кратности... у "нечетного" факториала $n_1!$

Например,
$15_1 != 3^45^27^111^113^1$
$4+2+1+1+1=9$
где $15_1 !$ - произведение нечетных чисел до $15$.

Используйте стандартные обозначения "двойного факториала"
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB

Да задача подсчета количества количества всех простых делителей всех нечетных чисел
естественно совпадает с подсчетом количества простых чисел с учетом кратностей в n!!

[Батороев]

mihailm, спасибо за уточнения и ссылки!

Заодно посмотрел, как считается двойной факториал от нечетных чисел.

Еще бы узнать, как считается степень вхождения простого в этот двойной факториал?