2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Медианы и высоты в треугольнике (сферическая геометрия)
Сообщение15.08.2010, 21:53 
Доказать для сферического треугольника:
а) медианы пересекаются в одной точке
б) высоты пересекаются в одной точке.

Найдется ли такой треугольник, для которого и высоты и медианы пересекаются в одной общей точке?

Размышляя над задачей, вспомнил, как подобные вопросы доказываются на плоскости, вспомнил про "геометрию масс" ( центр тяжести), но что для сферической геометрии?

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение15.08.2010, 22:32 
Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение15.08.2010, 22:45 
Sasha2 в сообщении #344487 писал(а):
Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.


Эту задача у меня из задачника, в нем, для этой задачи, увы, решение не приводится. Попробую поискать рекомендованную книгу или еще подумать.

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение15.08.2010, 22:52 
http://www.alleng.ru/d/math/math109.htm

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение16.08.2010, 01:04 
Помимо сферического треугольника нарисуйте еще и плоский с теми же вершинами и подумайте о связи медиан и высот плоского и сферического треугольника - и все сразу получится.

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение16.08.2010, 20:15 
Sasha2 в сообщении #344487 писал(а):
Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.


Посмотрел книгу, задача про медианы есть, про высоты нет, как и нет решения.

-- Пн авг 16, 2010 21:19:53 --

alex1910 в сообщении #344507 писал(а):
Помимо сферического треугольника нарисуйте еще и плоский с теми же вершинами и подумайте о связи медиан и высот плоского и сферического треугольника - и все сразу получится.

Если так рисовать, то, чтобы из плоского треугольника получить сферический, нужно деформировать, растягивать стороны плоского. Но как такое растяжение описать, и что при этом будет с точкой пересечения медиан при такой деформации?

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение16.08.2010, 21:08 
Ничего деформировать не надо - три точки на сфере не перестают оставаться точками в объемлющем трехмерном пространстве:)

Соедините точки отрезками - получите плоский треугольник вдобавок к сферическому.

Отсеките от сферы полусферу по большому кругу, проходящую через одну из сторон сферического треугольника.

Теперь уже легко увидеть связь медиан и высот плоского и сферического треугольника - методами элементарной школьной геометрии.

 
 
 
 Re: Медианы и высоты в треугольнике
Сообщение17.08.2010, 03:16 
Задача про высоты тоже там есть. Это задача № 491.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group