Медианы и высоты в треугольнике (сферическая геометрия)

[e7e5]

Доказать для сферического треугольника:
а) медианы пересекаются в одной точке
б) высоты пересекаются в одной точке.

Найдется ли такой треугольник, для которого и высоты и медианы пересекаются в одной общей точке?

Размышляя над задачей, вспомнил, как подобные вопросы доказываются на плоскости, вспомнил про "геометрию масс" ( центр тяжести), но что для сферической геометрии?

[Sasha2]

Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.

[e7e5]

Sasha2 в сообщении #344487 писал(а):

Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.

Эту задача у меня из задачника, в нем, для этой задачи, увы, решение не приводится. Попробую поискать рекомендованную книгу или еще подумать.

[Sasha2]

http://www.alleng.ru/d/math/math109.htm

[alex1910]

Помимо сферического треугольника нарисуйте еще и плоский с теми же вершинами и подумайте о связи медиан и высот плоского и сферического треугольника - и все сразу получится.

[e7e5]

Sasha2 в сообщении #344487 писал(а):

Ваши задачи подробно изложены в Адамаре "Элементарная геометрия", том 2 Стереометрия, задача № 490.
В этой же книге дано и ее подробное решение.

Посмотрел книгу, задача про медианы есть, про высоты нет, как и нет решения.

-- Пн авг 16, 2010 21:19:53 --

alex1910 в сообщении #344507 писал(а):

Помимо сферического треугольника нарисуйте еще и плоский с теми же вершинами и подумайте о связи медиан и высот плоского и сферического треугольника - и все сразу получится.

Если так рисовать, то, чтобы из плоского треугольника получить сферический, нужно деформировать, растягивать стороны плоского. Но как такое растяжение описать, и что при этом будет с точкой пересечения медиан при такой деформации?

[alex1910]

Ничего деформировать не надо - три точки на сфере не перестают оставаться точками в объемлющем трехмерном пространстве:)

Соедините точки отрезками - получите плоский треугольник вдобавок к сферическому.

Отсеките от сферы полусферу по большому кругу, проходящую через одну из сторон сферического треугольника.

Теперь уже легко увидеть связь медиан и высот плоского и сферического треугольника - методами элементарной школьной геометрии.

[Sasha2]

Задача про высоты тоже там есть. Это задача № 491.