Помогите с задачкой по термодинамике

[CheerfulCalf]

В сосуде находится азот под давлением 8000атм. Найти температуру газа, если известно, что его плотность в 100 раз больше при нормальных условиях (a=1,3*105(Jm3)/kmol2;b=0,037m3/kmol)?

Если я правильно понимаю, то надо плотность выразить через массу и объём.. но тогда как узнать массу и объём сосуда, который дан по условию?

[ewert]

CheerfulCalf в сообщении #344382 писал(а):

что его плотность в 100 раз больше при нормальных условиях

Это двусмысленно. Кто кого больше-то?...

Плотность однозначно пересчитывается в отношение объёма к количеству молей. Потом подставляйте всё в уравнение Ван-дер-Ваальса, все остальные необходимые данные в условии указаны.

[CheerfulCalf]

А что такое а и б в условии?

[ewert]

постоянные Ван-дер-Ваальса

[CheerfulCalf]

Сасибо, понял. У меня получилась, что молярный объем по дааным условия равен 2241, а температура тогда получается 2*10 в 11 степени... В чем ошибка? Пдозреваю, что в ван дер Ваальсо уровнение надо подставлять какойто другой Vm, но какой?

[ewert]

CheerfulCalf в сообщении #344409 писал(а):

2241

Во-первых,

ewert в сообщении #344384 писал(а):

CheerfulCalf в сообщении #344382 писал(а):

что его плотность в 100 раз больше при нормальных условиях

Это двусмысленно. Кто кого больше-то?...

В условии, скорее всего, задана плотность всё же в 100 раз бОльшая нормальной, а не меньшая (тем более что иначе и при чём тут Ван-дер-Ваальс-то); вот Вам уже четыре порядка. Во-вторых, перепроверьте все размерности. Например, Вы явно путаете литры и кубометры.

[CheerfulCalf]

Допустим, в условии плотность в 100 раз больше нормальной (это логично), тогда:
$V_M=\frac{M}{\rho}$
$\frac{V_M_0}{V_M}=\frac{\frac{14}{\rho}}{\frac{14}{\rho_0}}=\frac{1}{100}$
откуда $V_M=100 \cdot 22,41=2241$
Далее по ван дер Ваальсу выражаю температуру:
$T=\frac{(p+\frac{a}{V_M^2})\cdot (V_M-b)}{R}=\frac{(8,1\cdot 10^8+\frac{1,3\cdot 10^5}{2241})\cdot (2241-0,037)}{8,31}=2\cdot 10^1^1 \text{K}$

Что я не правильно делаю?

[gris]

При нормальных условиях молярный объём идеального газа
$V_{M_0}=22,41\cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.
В Вашем условии константы Ван-дер-Ваальса заданы именно через кубометры и киломоли, кстати.

И, если при данной массе плотность в 100 раз больше, то объём в 100 раз меньше.
$V_{M}=10^{-2}\,V_{M_0}$.

А вообще, когда возникает странность, полезно рассмотреть упрощённую модель, по-Менделеевски порассуждать.
Для идеального газа $\dfrac {PV}{MT}=\mathrm{const}$, то есть
$\dfrac {P}{\rho T}=\mathrm{const}$.
Получается, что увеличение в 8000 раз давления компенсируется увеличением в 3000 произведения плотности и температуры, то есть если плотность увеличивается в 100 раз, то температура увеличивается в 80 раз; если плотность уменьшается в 100 раз, то температура увеличивается в 800000 раз, что вряд-ли предполагалось в задаче.
То есть температура будет в 80 раз больше "нормальной", а Ван-дер-Ваальс уточнит.

Правда, возникает вопрос , из чего же сосуд сделан, если он выдерживает 22 тысячи градусов?

[CheerfulCalf]

gris в сообщении #344545 писал(а):

если плотность увеличивается в 100 раз, то температура увеличивается в 80 раз; ..., а Ван-дер-Ваальс уточнит.

Если я правильно перевел
$a=1,3\cdot10^5\text{(Jm3)/kmol2}=1,3*10^2\text{(Jm3)/mol2}$
$b=0,037\text{m3/kmol}=37\text{m3/mol}$
Подставив в свои вычисления $V_M=10^-^2$ получаю $-3,6\cdot 10^9$, умножив 273 на 80 - 21840...

[gris]

Давайте поточнее переведём всё в основные единицы СИ:

$P=8000 \text { атм} = 8000\cdot 101325\text{ Па}=8,106\cdot 10^8 \text{ Па}$
$a=1,3\cdot 10^5 \text { Дж}\cdot \text {м}^3\cdot \text {кмоль}^{-2}=0,13 \text { Дж}\cdot \text {м}^3\cdot \text {моль}^{-2}$
$b=0,037 \text { м}^3 \cdot \text { кмоль}^{-1}=3,7 \cdot 10^{-5} \text { м}^3 \text { моль}^{-1}$
$V=0,01 V_{M_0}=22,41\cdot 10^{-5} \text { м}^3 $

Вот теперь, когда всё замечательно выровнялось, подставляем:

$T= \dfrac {(P+a/V^2)(V-b)}R$

$T=\dfrac {(8,106\cdot 10^8 +0,13/(22,41\cdot 10^{-5})^2)(22,41\cdot 10^{-5}-3,7 \cdot 10^{-5} )}{8,31}=$

$= \dfrac {(8,106+0,026)\cdot 10^8\cdot (22,41-3,7 )\cdot 10^{-5} }{8,31}=$ (Тут мы видим реальную цену Ван-дер-Ваальсовских поправок)

$=18323 K$ Похолоднее, чем у Менделеева на 3500 градусов, но порядок один. Слишком жарко.

Я так подробно переписал Ваше решение, чтобы посмотреть на первые несколько строчек с цифрами и единицами измерений. Пронесёт или нет?

[CheerfulCalf]

Понял, спасибо. Напутал с переводом в SI.

gris в сообщении #344589 писал(а):

Похолоднее, чем у Менделеева на 3500 градусов, но порядок один.

А почему?

[gris]

Что почему? Без уточнения получаем температуру 21840, с уточнением - 18323.
21840-18323=3517. Но про обе температуры можно сказать, что они "около 20 тысяч градусов", то есть одного порядка.
Из чего же это сосуд сделан? Да ещё и давление неслабое.
Может быть это и самые обычные условия для лаборатории. Мне просто интересно.
Я бы в условии сделал давление $80\text{ атм}$.
Тогда и Ван-дер-Ваальсом интереснее играть, да и температура получается пореальнее.
Вот прямо устно: по Менделееву - $218 K=-55^{\circ}\,C$
По Ван-дер-Ваальсу - $241 K=-32^{\circ}\,C$