Найти площадь плоской фигуры, заданной в координатах

[compaurum]

АКМ,
постараюсь не забывать

тут еще такая задачка:
Задача № 4. Найти обьем тела ограниченого плоскостью, которая получена при вращении линии, которая задана в прямоугольной системе координат, вокруг оси Оy.
$x=2 \sin t, y=\sqrt3 \cos t$
Не знаю какая формула если уравнение задано параметрически. Предполагаю что так:
$V= \pi \int \limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) d t$ $t_1= \frac \pi 2, t_2=0$-это будет половина всего обьема
правильно, нет?

[GAA]

Да, правильно.

[AKM]

compaurum в сообщении #343996 писал(а):

Задача № 4. Найти обьем тела ограниченого плоскостью,

(выделение моё).

[compaurum]

поверхностью
только вот одно непонятно: если сделать точно также, только вращать не вокруг $Oy$, а вокруг $Ox$, то $y(t),x(t)$ поменяються местами и пределы будут $t_1=0, t_2 = \frac \pi 2$то получаються совсем другие результаты. Почему?

[AKM]

compaurum в сообщении #343996 писал(а):

Не знаю какая формула если уравнение задано параметрически. Предполагаю что так:
$V= \pi \int \limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) d t$

Формула такая:

$$V=\int_{h_1}^{h_2}S(h)\,dh=\int_{h_1}^{h_2}\pi r(h)^2 \,dh=\ldots$$

Здесь S - площадь поперечного сечения, h -- высота. Далее Вы эту формулу к своим нуждам подправляете. Так, когда Вы вращаете вокруг вертикальной оси (OY), в роли радиуса будет икс, в роли высоты --- игрек.
Но "местами они при этом не меняются", как Вы изволили выразиться, где были, там и остаются.
Ролями --- да, согласен, меняются.

-- Чт авг 12, 2010 17:05:20 --

Совсем другие результаты могут быть от того, что тела совсем разные образуются.

[compaurum]

график этого параметрического уравнения - эллипс с центром в начале координат, а значит фигуры одинаковые получаются - эллипсоид

[GAA]

Приведите расчеты.
(И при вращении вокруг оси OX и при вращении вокруг оси OY получаются, конечно, эллипсоиды вращения. Но разные эллипсоиды вращения.)

[AKM]

$$\text{типа блюдце:}\begin{picture}(100,40)(-50,-20) \put(-50,0){\line(1,0){100}}\put(0,-20,0){\vector(0,1){50}} \linethickness{2pt} \qbezier(-50,0)(-50,10)(0,10)\qbezier(0,10)(50,10)(50,0) \end{picture} \qquad\text{типа палец:} \begin{picture}(100,40)(-50,-20) \put(-50,0){\vector(1,0){110}}\put(0,-20,0){\line(0,1){50}} \linethickness{2pt} \qbezier(0,10)(50,10)(50,0)\qbezier(50,0)(50,-10)(0,-10) \end{picture} $$

[AKM]

Ну да, площади, ограниченные нарисованными кривульками (при соединении концов) одинаковы. Но если представить себе соответствующие объёмы (блюдце -- палец), то никакого равенства ожидать не приходится.

[compaurum]

1.

$$V= 2\pi \int \limits_{ \frac\pi 2}^{0} (2 \sin t)^2( \sqrt 3 \cos t)' d t=8 \sqrt 3 \pi \int \limits_{\frac \pi 2}^0 \frac {\sin 3t- 3 \sin t}4dt=2\sqrt3 \pi \left (3 \cos t- \frac13 \cos 3t \right ) \left|^0_{ \frac \pi 2}=2 \sqrt 3 \pi \frac 83=\frac{16 \sqrt 3}3 \pi$$

-- Пт авг 13, 2010 11:02:05 --

2. АКМ, Ваш вариант:
$V=2\int \limits^2_0 \pi y^2 dy=2\pi \frac{y^3}3 \left | ^2_0=\frac {16}3 \pi$

[GAA]

1. Да, правильно.

2. Нет, все так, как AKM и писал. $h$ в Вашем случае — это $y$, $r$ — это $x$.
$V = \int_{h_1}^{h_2}\pi r^2(h) \,dh = \int_{y_1}^{y_2}\pi x^2(y) \, dy = \int_{t_1}^{t_2}\pi x^2(t) dy(t) = \int_{\pi}^0 \pi (2\sin t)^2 d \sqrt 3 \cos t$.