Числа можно разбить на множества, в следующем порядке возрастания мощности -
1. Множество

- множество простых чисел (не имеет простых делителей, кроме самого себя).
2. Множество

- множество натуральных чисел.
3. Множество

- множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).
4. Множество

- множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).
5. Множество

- подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем действительных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например,
![$3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{3}}}$ $3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{3}}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/f/65fdfc3a35422e718dff17d60ebdae9182.png)
. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а любое число которое возводится в степень - рациональное положительное.
6. Множество

- подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем комплексных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например,
![$3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{-3}}} + ... $ $3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{-3}}} + ... $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/0/e806b0e952a60e82c85e200ec47fb02f82.png)
, которое окажется действительным в итоге. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а число которое возводится в степень - рациональное, и может быть отрицательным.
Отличие множества 6 от множества 5. Например, корни уравнения,

, равны
![$\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$ $\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/5/8953ee79ed49dd4059f211641d05bc1582.png)
.
Вместе с тем, известно, что кубические уравнения
разрешимы в радикалах. Это значит, что эти же корни можно представить в виде записи с числами, мат.операциями, и степенями.
Вопрос. У меня предположение, что части этой записи - будут комплексными числами, т.е. там не обойтись без

. Будут корни из отрицательных чисел обязательно. Верно ли предположение?
Если предположение верно, то всегда действительные корни кубических уравнений -- принадлежат множеству

, но они могут не принадлежать множеству

. А вот корни квадратного уравнения всегда принадлежат маломощному множеству

.
Вопрос. Всегда ли синус от аргумента (в градусах) представленного в виде рационального числа - принадлежит множеству

(или даже

), т.е. всегда ли его можно выразить в радикалах?
Но перейдем к еще более мощному множеству чисел. Действительные корни уравнения 5-й степени, вообще не всегда могут быть выражены в радикалах, т.е. они могут не входить даже в

, но есть такое множество, куда они входят -
7. Множество

- множество алгебраических чисел, (подмножество действительных чисел) . В это множество входят все возможные действительные корни всех возможных алгебраических уравнений, любых степеней, и с любыми рациональными коэффициентами.
Какие более мощные множества, чем

, рассматриваются в математике (не считая самых широких множеств - действительных и комплексных)? Я более мощных не встречал, обычно, если число не входит в

то его просто называют трансцендентным. А я бы ввел еще одно множество -
8. Множество

- множество чисел, которые могут быть корнями любого математического уравнения (не обязательно алгебраического), с любыми известными функциями (типа синус, дзета-функция, интегральный логарифм и т.д.), которые могут быть разложены представлены в виде ряда или нескольких рядов. Назовем такие числа АНАЛИТИЧЕСКИМИ. Проще говоря - можно задать описание конечных размеров, такое что, по этому описанию можно найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.
До сих пор все рассматриваемые множества были подмножествами следующего, т.е.

подмножество

, и т.д.

- подмножество

. Следующее множество,

- отдельное (

в него не входит), но самое мощное.
9. Множество

- множество хаотических чисел. (хаотических - мое определение). Это множество всех действительных чисел, которые не входят в

. Если число входит в

, то никакими математическими описаниями конечных размеров (не важно - рядами, или функциями и т.п.), это число невозможно представить, т.е. если мы зададим описание конечных размеров, то мы не сможем по этому описанию найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.
10. Множество

- множество ВСЕХ действительных чисел. Это объединение непересекающихся множеств

и

. Причем множество

в множестве

- имеет меру нуль. Т.е. в множестве действительных чисел - большинство чисел - хаотические, и меньшинство - аналитические.
11. Множество

- множество всех комплексных чисел. Можно было разбить и его на аналогичные подмножества (алгебраические комплексные, аналитические, хаотические и др.) но уже думаю, необязательно.
Правильна моя классификация? Какие еще у математиков есть множества, являющиеся подмножествами трансцендентных, но не являющиеся алгебраическими числами?