Некомпактный вариант теоремы Крейна-Мильмана.

[Padawan]

Рассмотрим в пространстве $L^1[a,b]$ множество $T=\{f\in L^1[a,b]: f(x)\geqslant 0\; \forall x\in[a,b]\, \&\, \|f\|_1=1\}$. Множество $T$ выпукло и замкнуто в $L^1$.
Для $\delta>0$ рассмотрим некоторое подмножество $T_\delta\subset T$ вида $T_\delta=\{f_t(x)\}_{t\in[a,b]}$, причем для любого $t\in [a,b]$ выполнено $\int\limits_{|x-t|\geqslant\delta} f_t(x)\,dx<\delta$.
Надо доказать, что для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любого множества $T_\delta$ его выпуклая оболочка $\mathrm{conv}\, T_\delta$ является $\varepsilon$-сетью для $T$.

Теорема Крейна-Мильмана утверждает, что компактное выпуклое множество локально-выпуклого топологического векторного пространства является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Меня интересует, имеются ли обобщения этой теоремы на случай некомпактных множеств?

Возможно функции из $T_\delta$ в некотором смысле являются "почти крайними", и их выпуклая оболочка "почти совпадает" с $T$?

[AD]

Padawan в сообщении #343781 писал(а):

$\int\limits_{|x-t|\geqslant\delta} f(x)\,dx<\delta$

Здесь $f_t(x)$?

[Padawan]

Да, спасибо, исправил.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #343781 писал(а):

Множество $T$ выпукло

разве?

[ewert]

terminator-II в сообщении #344394 писал(а):

разве?

они неотрицательны

[terminator-II]

угу

[ewert]

ну да. Существенно, конечно, ещё и то, что норма -- нестрогая.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #343781 писал(а):

Для $\delta>0$ рассмотрим некоторое подмножество $T_\delta\subset T$ вида $T_\delta=\{f_t(x)\}_{t\in[a,b]}$, причем для любого $t\in [a,b]$ выполнено $\int\limits_{|x-t|\geqslant\delta} f_t(x)\,dx<\delta$

Что-то всетаки не так с условием. Такое ощущение, что если $\delta$ брать большим то $T_\delta$ будет совпадать с $T$ или что-то в этом роде.

[Padawan]

Нет, вроде всё правильно. Там же сказано, "для любого $T_\delta$".

Ещё пояснение: одному и тому же $\delta$ соответствует не одно $T_\delta$, а много -- все, для которых выполнено "$\delta$-условие".

[zbl]

Padawan в сообщении #343781 писал(а):

Теорема Крейна-Мильмана утверждает, что компактное выпуклое множество локально-выпуклого топологического векторного пространства является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Меня интересует, имеются ли обобщения этой теоремы на случай некомпактных множеств?

А такую работу знаете?: В. А. Левашов, “Операторные аналоги теоремы Крейна–Мильмана”, Функц. анализ и его прил., 14:2 (1980), 61–62

Левашов в своей статье писал(а):

В настоящем сообщении приводятся некомпактные варианты теоремы Крейна — Мильмана для некоторых классов выпуклых множеств в пространстве операторов, обобщающие и дополняющие целый ряд результатов различных авторов [1] — [5], относящихся к операторной проблеме Крейна — Мильмана.