Магические квадраты

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #343529 писал(а):

Pavlovsky
предлагаю вам сделать последовательность пандиагональных квадратов 5-го порядка из простых чисел, поскольку начинаться она будет с найденного вами наименьшего квадрата с магической константой 395. У вас уже все нужные для этого примитивные квадраты 5-го порядка имеются.

Ниже представлены пандиагональные МК 5х5 с магической суммой в диапозоне [395,481]. Для всех нечетных магических сумм больше 481 можно построить пандиагональные МК 5х5. Правда это строго не доказано.

(Оффтоп)

395 = 5 7 11 13 17 23 31 37 41 43 53 67 71 73 83 97 101 103 113 127 131 137 167 197 227 
403 = 7 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 67 73 103 113 127 137 139 149 157 163 173 193 
409 = 5 7 11 13 29 31 41 43 47 53 59 61 71 73 79 83 97 101 109 127 157 163 181 193 211 
413 = 5 11 23 29 31 37 41 47 53 59 67 71 73 79 83 89 97 109 113 131 139 149 157 173 199 
419 = 5 13 19 23 29 31 37 47 53 59 67 71 73 83 89 97 103 107 113 137 149 157 163 173 197 
425 = 5 7 11 13 17 23 41 43 53 61 67 71 73 83 97 101 103 113 127 131 137 157 167 197 227 
431 = 5 7 11 13 17 19 31 37 41 43 47 53 71 73 97 101 103 107 127 137 167 173 179 233 263 
433 = 11 13 17 19 31 37 41 43 53 59 61 67 73 83 97 107 109 127 137 139 149 157 163 179 193 
437 = 7 11 13 17 23 29 37 41 43 47 53 59 67 73 97 101 103 107 131 137 163 167 179 223 257 
441 = 5 11 23 29 31 37 41 47 53 59 67 71 83 89 97 101 107 113 131 137 149 157 167 173 227 
443 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 97 101 109 113 173 179 193 229 233 
447 = 5 11 23 29 37 41 43 47 53 59 71 73 83 89 101 103 107 113 131 137 149 163 167 173 227 
449 = 5 13 23 29 31 37 43 61 67 71 79 83 89 97 101 107 109 113 127 131 137 149 167 179 197 
451 = 7 13 17 31 37 41 43 47 61 71 73 79 83 97 103 107 109 113 127 137 157 163 167 181 191 
457 = 7 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 67 73 139 149 157 163 167 173 181 191 193 211 
461 = 5 11 17 23 29 37 41 43 47 59 61 71 79 83 103 107 113 131 149 157 163 173 181 199 223 
463 = 13 19 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 83 97 109 127 137 139 149 157 163 167 179 193 
467 = 13 23 31 37 41 43 47 53 61 71 79 83 97 101 103 107 109 113 127 131 149 167 173 179 197 
469 = 7 11 13 17 23 29 37 41 43 47 53 59 73 79 97 101 103 109 113 163 193 199 223 229 283 
473 = 5 11 17 23 31 41 43 47 53 59 61 67 73 79 97 101 109 113 137 149 173 179 199 229 269 
475 = 11 23 31 41 43 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 109 131 139 151 163 181 193 223 
479 = 11 17 23 29 31 37 41 47 53 59 61 67 73 79 101 103 107 109 131 137 179 191 199 241 269 
481 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 67 73 79 83 89 97 103 109 139 199 211 229 241 271 
483 = 5 11 23 29 41 47 53 59 71 73 79 83 89 101 107 109 113 131 137 139 149 167 173 199 227 
485 = 5 19 31 41 47 53 59 61 67 73 79 83 89 101 107 113 127 137 139 149 151 163 167 173 191 
487 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 67 73 79 97 107 109 113 127 163 181 193 211 223 277 
491 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 71 73 83 97 101 109 113 127 139 191 197 211 251 277 
493 = 13 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 71 73 79 103 139 149 157 163 167 173 181 191 199 223 
497 = 11 17 23 29 31 41 43 47 61 67 71 79 83 97 101 107 113 127 163 167 173 179 193 229 233 
499 = 7 17 29 31 37 41 43 47 53 59 67 73 79 103 109 127 137 149 157 163 167 179 193 199 229 
503 = 11 17 23 29 31 41 43 47 61 67 79 83 89 97 103 107 113 127 139 163 167 179 197 239 263 
505 = 5 11 13 19 29 37 47 53 59 67 71 73 79 97 101 127 131 139 157 163 173 181 199 211 283 
509 = 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 53 61 101 107 131 137 139 149 157 179 181 191 199 227 269 
511 = 13 19 31 37 41 43 47 61 67 71 73 97 101 107 109 127 131 137 139 157 163 167 193 197 227 
515 = 5 7 11 13 17 19 31 37 41 43 47 53 71 73 97 101 103 107 127 137 251 257 263 317 347 
517 = 11 13 17 19 23 29 37 43 71 73 83 97 101 103 113 127 137 139 149 151 157 163 211 241 277 
521 = 11 13 17 19 29 31 53 59 61 67 71 79 83 89 101 107 109 149 157 179 191 193 233 241 263 
523 = 11 23 31 41 43 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 109 131 139 199 211 229 241 271 
527 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 97 101 109 113 257 263 277 313 317 
529 = 11 13 17 19 23 29 31 37 59 61 71 79 103 109 137 139 149 151 157 179 181 191 199 229 271 
531 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 71 73 83 101 113 137 149 167 179 191 197 211 251 317 
533 = 11 13 17 19 23 29 37 43 71 73 83 97 101 103 113 127 137 139 149 163 167 173 227 257 293 
535 = 5 7 11 13 17 19 31 37 41 43 47 53 61 67 73 101 103 127 137 157 281 283 307 317 337 
537 = 5 11 23 29 37 41 43 47 53 59 71 73 83 89 103 113 131 149 163 173 191 197 227 257 317 
539 = 23 29 31 37 47 53 59 67 73 79 83 89 97 109 113 131 137 139 149 157 167 173 197 199 257 
541 = 11 13 23 37 41 43 53 67 71 73 83 97 101 103 113 127 137 139 149 151 163 181 211 241 277 
545 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 71 73 83 101 113 151 163 181 191 193 197 211 251 331 
547 = 11 13 17 19 31 37 41 43 53 59 61 83 97 103 127 137 139 157 179 191 193 211 223 233 277 
549 = 11 13 17 19 23 29 41 47 53 59 71 73 83 101 113 137 139 149 167 179 227 229 239 257 269 
551 = 11 13 17 19 23 29 41 43 53 71 73 83 101 103 113 151 157 167 173 181 197 211 227 241 257 
553 = 11 17 23 29 31 41 43 47 61 67 79 83 89 97 103 139 151 163 173 179 181 193 223 229 313 
555 = 5 11 13 17 19 23 29 37 41 59 67 71 83 89 101 107 109 113 137 179 257 263 281 311 353 
557 = 11 13 17 19 23 29 37 43 47 53 71 73 83 97 101 103 107 113 127 137 281 283 293 307 317 
559 = 13 19 23 29 31 37 43 53 61 73 79 103 107 113 137 139 149 157 163 173 181 199 223 233 257 
561 = 11 13 17 19 23 29 41 47 53 59 71 73 83 101 113 137 139 149 167 179 239 241 251 269 281 
563 = 11 13 17 19 41 43 53 59 71 73 83 97 103 113 127 137 139 157 167 173 179 197 223 227 293 
565 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 73 83 89 103 151 163 181 193 199 211 223 229 241 271 
567 = 5 11 17 23 37 41 43 47 53 59 71 73 79 83 103 131 137 167 173 197 227 233 263 269 293 
569 = 11 13 17 19 41 43 53 59 67 73 83 97 107 109 137 139 149 163 167 173 179 193 197 263 293 
571 = 11 13 19 29 31 37 59 61 67 71 73 79 89 101 103 107 109 137 149 179 223 241 271 283 313 
573 = 11 17 23 29 31 41 43 47 53 59 61 71 73 83 101 113 131 137 151 191 239 251 269 281 359 
575 = 11 17 23 29 31 41 43 47 61 67 71 79 83 97 101 107 113 127 163 167 251 257 271 307 311 
577 = 11 17 23 29 37 41 43 53 67 73 79 101 103 113 127 151 157 163 167 179 181 193 229 241 307 
581 = 11 13 17 19 23 29 41 47 59 61 71 89 101 103 113 131 137 139 149 167 223 229 271 313 349 

[Nataly-Mak]

Хорошая последовательность.
А что вы можете сказать по поводу задачи превращения приведённого пандиагонального квадрата 12-го порядка в примитивный квадрат? Интересная задачка!
Я попробовала вручную сделать примитивный квадрат, примерно расставила числа в первой строке и первом столбце, но, увы! При достраивании примитивный квадрат, конечно, получился, но из других чисел (не все числа в нём простые и даже есть два одинаковых числа). Вот этот квадрат:

13 17 23 29 43 67 73 103 181 197 271 463
37 41 47 53 67 91 97 127 205 221 295 487
157 161 167 173 187 211 217 247 325 341 415 607
199 203 209 215 229 253 259 289 367 383 457 649
647 651 657 663 677 701 707 737 815 831 905 1097
877 881 887 893 907 931 937 967 1045 1061 1135 1327
991 995 1001 1007 1021 1045 1051 1081 1159 1175 1249 1441
1549 1553 1559 1565 1579 1603 1609 1639 1717 1733 1807 1999
1693 1697 1703 1709 1723 1967 1753 1783 1861 1877 1951 2143
1913 1917 1923 1929 1943 1747 1793 2003 2081 2097 2171 2363
2179 2183 2189 2195 2209 2233 2239 2269 2347 2363 2437 2629
2281 2285 2291 2297 2311 2335 2341 2371 2449 2645 2539 2731

Теперь обратная задача: можно ли этот примитивный квадрат 12х12 превратить в пандиагональный?

Но у меня ещё интереснее задача, я назову её: понижение порядка примитивного квадрата. Вычеркнем из приведённого примитивного квадрата 12х12 вторую строку и шестой столбец (понятно, что строку и столбец можно выбрать любые). В результате такой операции квадрат останется примитивным! То есть из примитивного квадрата 12х12 мы элементарно получаем примитивный квадрат 11х11.
А теперь представьте, что из моего пандиагонального квадрата, состоящего из простых чисел, можно получить соответствующий примитивный квадрат, тоже состоящий из тех же самых простых чисел. Тогда понизив порядок примитивного квадрата, мы элементарно получим примитивный квадрат 11-го порядка из простых чисел, а из него с помощью преобразования Россера получим и пандиагональный квадрат 11-го порядка тоже из простых чисел.
Для показанного примитивного квадрата 12х12 я всё это проделала: получила вычёркиванием строки и столбца примитивный квадрат 11х11, применила к нему преобразование Россера и получила пандиагональный квадрат. Покажу его:

271 289 893 1549 2097 2341 167 1097 1159 1723 2183
2281 341 707 1001 2143 2347 43 203 1135 1639 1929
2189 463 367 907 1553 2171 2371 173 647 1175 1753
1943 2285 415 737 1007 1693 2363 73 209 1327 1717
1783 2195 13 383 937 1559 2363 2449 187 651 1249
1733 1973 2291 607 815 1021 1697 2437 103 215 877
1441 1861 2209 17 457 967 1565 1913 2465 217 657
881 1807 2003 2297 157 831 1051 1703 2629 181 229
663 991 1877 2239 23 649 1045 1579 1917 2539 247
259 887 1999 2081 2311 161 905 1081 1709 2179 197
325 677 995 1951 2269 29 199 1061 1609 1923 2731

Но вот можно ли превратить пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел, показанный выше, в примитивный квадрат?

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #343560 писал(а):

Можно ли получить из этого квадрата примитивный квадрат 12х12?

Запустил свой алгоритм, примитивный квадрат не построился. Впрочем Россер этого и не обещал.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #343703 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #343560 писал(а):

Можно ли получить из этого квадрата примитивный квадрат 12х12?

Запустил свой алгоритм, примитивный квадрат не построился. Впрочем Россер этого и не обещал.

Жаль!
Я видела в статье построение классического пандиагонального квдарата 12-го порядка, там есть и примитивный квадрат (собственно - обратимый квадрат) и преобразование, которое превращает этот квадрат в пандиагональный.
А для нетрадиционного пандиагонального, значит, никакой связи с примитивным квадратом. Это плохо. Не доработал здесь Россер

Наконец-то начала писать статью "Нетрадиционные пандиагональные квадраты". Очень давно собиралась начать, но работа над этими квадратами ещё продолжается. С другой стороны, материалов уже так много накопилось, что боюсь потом всё не собрать в кучу (это и в рукописи, которая с каждым днём всё "толстеет", и в черновых набросках в компе). Вот решила начать. Буду для каждого порядка отдельно описывать алгоритмы построения, так проще. Пока описала только для порядка 4.

Буду очень благодарна всем за замечания, предложения, пожелания.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #343706 писал(а):

Буду очень благодарна всем за замечания, предложения, пожелания.

Для пандиагональных МК 4х4 Россер и не нужен. Пандиагональные МК 4х4 обладают замечтельным свойством они состоят из 8 комплементарных пар чисел. Это свойство позволяет создавать очень эффективные алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных МК 4х4.

-- Ср авг 11, 2010 09:51:55 --

Никак не доходят руки. Так обратимый квадрат и примитивный квадрат это одно и тоже? Или есть разница?

[Pavlovsky]

Определим задачу. Найти 4 пандиагональных МК 5х5, состоящих из различных простых чисел с одинаковой магической суммой. Далее из этих МК будет построен пандиагональный МК 10х10.
Будем строить МК, по Россеру, сначала будем строить нормализованный примитивный квадрат, а затем преобразованием получать пандиагональный квадрат.
По Россеру, примитивный квадрат строится следующим образом:
Сначала заполняется первая строка и первая колонка. При этом выполняется условие нормализации. Все остальные элементы однозначно определяются числами в первой колонке и строке.

a11   a12   a13   a14   a15
a21            
a31            
a41            
a51

Модифицируем немного алгоритм построения примитивного квадрата. Будем заполнять первую строку и основную диагональ квадрата.

a11   a12   a13   a14   a15
   a22         
      a33      
         a44   
            a55

Что нам это дает? Известно, что сумма чисел на основной диагонали в примитивном квадрате равна магической сумме. Тем самым мы теперь можем строить примитивные квадраты с наперед заданной магической суммой. В оригинальном варианте алгоритма магичскую сумму можно узнать только после того как заполнены первая тсрока и столбец целиком.

Но этого недостаточно. Чтобы сократить перебор, необходимо использовать свойства простых чисел. Ранее мы не интересовались природой чисел, из которых строили МК. Предполагалось что это некое множество натуральных чисел упорядоченных по возрастанию. Для простых чисел учитывалось только одно простейшее свойство, что МК можно строить из нечетных простых чисел.

Какие же еще свойства простых чисел можно использовать в деле строительства МК?! Нечетные простые числа можно разбить на три класса. Первый класс состоит из одного числа 3. Два других класса состоят из простых чисел вида 6k+1 и 6k-1. Причем, по теореме Дирихле, чисел в этих классах примерно одинаковое количество.

Рассмотрим какие примитивные квадраты мы можем строить с учетом этого факта. Ниже представлены все допустимые примитивные квадраты, где в ячейках стоят остатки от деления на 6.

Магическая сумма 6k-1

1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1

3   1   1   1   1
1   -1   -1   -1   -1
1   -1   -1   -1   -1
1   -1   -1   -1   -1
1   -1   -1   -1   -1

Для построения 4 МК требуются простые числа 3 – 1шт; 6k+1 - 38шт; 6k-1 - 61шт

Магическая сумма 6k+1

1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1

3   -1   -1   -1   -1
-1   1   1   1   1
-1   1   1   1   1
-1   1   1   1   1
-1   1   1   1   1

Для построения 4 МК требуются простые числа 3 – 1шт 6k-1 – 38шт 6k+1 – 61шт

Магическая сумма 6k+3

1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1

1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1

Для построения 4 МК требуются простые числа 6k-1 – 50шт 6k+1 – 50шт

Выводы:
1. Имеется всего 6 вариантов заполнения примитивных квадратов! Причем всего по два вида для каждого типа допустимой магической суммы (6k+1,6k+3,6k-1).
2. Примитивный квадрат 5х5 с магической суммой 6k+3 нельзя построить с использованием числа 3.
3. Для магической суммы вида 6k+3, простые числа в МК используются равномерно по каждому из классов вида 6k+1, 6k-1. Соответственно очень большая вероятность, что МК с минимальной магической суммой будет иметь магическую сумму именно этого вида.
4. Структура квадратов очень простая. Что позволяет разработать алгоритм построения, причем с существенным сокращением перебора.

Алгоритм потихоньку дает результаты. Пандиагональный МК 10х10 магическая сумма равна 3594.

 103    463    601    547    857    167    163    337     73    283
 347    359    281    563    271    313    509    449    389    113
 881    197    193    379    109    523    607    571      7    127
 277    331    641    491    467    383    401    569     11     23
 613    631     13    151     31    157    911    239    229    619
 521    593    131     29     17     41    409    373    719    761
  61    199    947    479    733    727     19    211     37    181
 149     83    487    643    773    971    251     53    137     47
 139    307     43    241     67    223     97    439   1451    587
 503    431    257     71    269     89    227    353    541    853

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #343708 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #343706 писал(а):

Буду очень благодарна всем за замечания, предложения, пожелания.

Для пандиагональных МК 4х4 Россер и не нужен. Пандиагональные МК 4х4 обладают замечтельным свойством они состоят из 8 комплементарных пар чисел. Это свойство позволяет создавать очень эффективные алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных МК 4х4.

-- Ср авг 11, 2010 09:51:55 --

Никак не доходят руки. Так обратимый квадрат и примитивный квадрат это одно и тоже? Или есть разница?

Ну, для полного комплекта алгоритмов алгоритм Россера тоже нужен. Он ведь работает
Алгоритм, основанный на использовании комплементарных пар, в статье тоже отмечен. Только я сначала строю ассоциативный квадрат, а потом превращаю его в пандиагональный. Для построения сразу пандиагонального квадрата не писала программу, ни к чему она мне.

Насчёт обратимиых и примитивных квадратов. Я разделяю эти квадраты так: обратимый квадрат порядка $n$ - это квадрат составленный из первых n^2 натуральных чисел. Собственно так обратимые квадраты определяются в той англоязычной статье, из которой я брала метод построения совершенных квадратов из обратимых.
Примитивный квадрат - это квадрат, составленный из произвольных натуральных чисел. В примитивном квадрате выполняются все свойства обратимого квадрата, указанные в определении.
Обратимые квадраты используем для построения классических МК (и Россер тоже это делает), а примитивные квадраты используем для построения нетрадиционных МК.

[Nataly-Mak]

Как я поняла, в статье Россера нет алгоритма построения пандиагонального квадрата 6-го порядка.
Оказывается, пандиагональные квадраты 6-го порядка тоже можно строить с помощью примитивных квадратов. И не только пандиагональные, а даже идеальные.

Пример. Это примитивный квадрат 6х6 из произвольных натуральных чисел:

3 5 7 11 13 15
20 22 24 28 30 32
37 39 41 45 47 49
71 73 75 79 81 83
88 90 92 96 98 100
105 107 109 113 115 117

Сочинила матричное преобразование, которое превращает этот примитивный квадрат в идеальный. Это полученный идеальный квадрат:

3 113 13 115 11 105
83 41 73 39 75 49
88 28 98 30 96 20
100 24 90 22 92 32
71 45 81 47 79 37
15 109 5 107 7 117

Подробности в статье "Нетрадиционные пандиагональные квадраты".

[Pavlovsky]

Продолжаю изучать простые числа и МК.
Вот такая задача.
Построить примитивный прямоугольник 4х5 из различных простых чисел. В первой и второй строках которого должны быть простые чилса с остатком 5mod12, в третьей и четвертой строках должны быть простые числа с остатком 11mod12. Возможно ли такое?

Напомню, примитивный прямоугольник (квадрат), обладает свойством: Aij+Akl=Ail+Akj.

[Nataly-Mak]

Описала алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов порядков 5-6 (ссылка на статью дана выше).
Сейчас разыщу в черновиках систему уравнений, описывающую пандиагональный квадрат 6-го порядка и выложу её. Надо сделать ещё общую формулу пандиагонального квадрата 6-го порядка. Надеюсь на помощь в решении системы (у меня нет ни одного мат. пакета).

Напоминаю: жду комментарии к статье. Статья обзорная и очень важная. Так что мне очень нужны ваши комментарии, коллеги.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #344051 писал(а):

Надо сделать ещё общую формулу пандиагонального квадрата 6-го порядка

Оптимальная формула (с неизвестной суммой) задается матрицей:

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2, 2, 1, 2, 1, -1, -2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-3, 2, 2, 2, 2, 0, -3, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2, 1, 2, 1, 2, 0, -2, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2, 1, 2, 3, 3, 1, -3, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 1, -2, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2, 2, 2, 2, 2, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1, 1, 1, 1, 2, 1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-3/2, 5/2, 5/2, 5/2, 5/2, 1, -5/2, 0, 0, 0, 1, 0, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2, 2, 2, 3, 2, 0, -3, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-3/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, -1, -3/2, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-3, 3, 3, 3, 3, 0, -3, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1, 0, 0, -1, -1, -1, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
3/2, -1/2, -3/2, -3/2, -3/2, -1, 3/2, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1, -1, -1, -2, -2, -1, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 1, 1, 2, 1, 0, -2, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1/2, -1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1, 1/2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Каждая строка задает переменную, если в ней одна единица - переменная независимая, иначе - зависимая.
Порядок переменных такой:
[31, 14, 15, 17, 18, 33, 34, 36, 13, 16, 32, 35, 5, 11, 20, 26, 2, 8, 23, 29, 6, 21, 10, 25, 4, 12, 19, 27, 1, 3, 7, 9, 22, 24, 28, 30]
если они перенумерованы естественным образом:
1 2 3 4 5 6
7 8 9 ... и т.д.

[Nataly-Mak]

maxal
спасибо, что вы выложили свою общую формулу пандиагональных квадратов 6-го порядка. Обязательно укажу ссылку на эту формулу в статье.

Но, по-моему, предпочтительнее сделать формулу, во-первых, для массива точно из 36 чисел (тогда известна магическая константа и меньше будет свободных переменных), во-вторых, вот в таком виде:

x1 = x20 - d + c 
x2 = S - x19 - b - x20 + d - x18 - c
x3 = b + x18 - a
x4 = x19 - e + a
x5 = d + x18 - a
x6 = x19 + b - e
x7 = e + x20 - d
x8 = S - x19 - b - x20 - x18 
x9 = x20 + a - d
x10 = S - x18 - c - x19 - b - x20 + e
x11 = -a + x18 + c
x12 = d - e + x19
x13 = c + x19 - e
x14 = -d + b + x20
x15 = S - x18 - c - x19 - b - x20 + a
x16 = x18 + e - a
x17 = S - x18 - x19 - x20 - c

Это общая формула пандиагонального квадрата 5-го порядка из статьи.

Может быть, вам для реализации (или по каким-то другим соображениям) удобна матричная форма записи формулы.
Мне удобнее приведённая форма записи. В таком виде у меня и общая формула пандиагонального квадрата 7-го порядка (систему решили на форуме Портала ЕН). Кстати, из этой формулы я получила общую формулу для идеального квадрата 7-го порядка, преобразовав её с учётом ассоциативности. Количество свободных переменных при этом резко сократилось, и программа стала выполняться довольно быстро. Не помню, сколько стало свободных переменных, а в общей формуле пандиагонального квадрата их 24 (у меня формула составлена в предположении, что массив состоит точно из 49 чисел). Конечно, с таким количеством свободных переменных формула вряд ли пригодна для реализации. Написать программу, конечно, можно, но вот выполнить её за реальное время не удастся.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #344082 писал(а):

Но, по-моему, предпочтительнее сделать формулу, во-первых, для массива точно из 36 чисел (тогда известна магическая константа и меньше будет свободных переменных)

Такая тоже есть:

[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
2/3, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1, -1, 0, -1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1/3, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
2/3, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1, 0, 2, 0, 0, -1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
2/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
2/3, 1, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, -1, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1/3, -1, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
4/3, 0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1/6, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, -1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1/2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
2/3, 1, -2, -1, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 0, -2, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
1/6, 0, 2, 1, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-2/3, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1/3, -1, 0, -1, 0, 0, -1, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
-1/3, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 
5/6, 0, -2, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, -2, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

с таким порядком переменных:
[S, 16, 21, 17, 20, 14, 23, 18, 19, 13, 15, 22, 24, 6, 31, 12, 25, 1, 7, 30, 36, 9, 28, 8, 29, 10, 11, 26, 27, 2, 32, 3, 33, 4, 5, 34, 35]
то есть, например, четвертую строчку матрицы нужно понимать как:

$$x_{20} = \frac{2}{3}S - x_{16} - x_{21} - x_{17},$$

где $S$ - сумма.
Аналогичным образом можно преобразовать в формульный вид все остальные строчки.

[Nataly-Mak]

Как преобразовать матричную запись в формульную, мне понятно; я уже делала это, когда вы выложили общие формулы для пандиагональных квадратов 7-го порядка. Но это долго - переписывать

Кроме того, мне хочется получить свою формулу.
Вот разыскала в черновиках систему уравнений, описывающую пандиагональный квадрат 6-го порядка. Покажу, как переменные расположены в квадрате:



Может быть, не совсем удачно расположила? Здесь все a_i свободные элементы, их пока 12 (их надо считать символьными константами при решении системы, так же и $S$). Переменные x_k пока считаются зависимыми (их 24 штуки), но при решении системы некоторые из них станут свободными (так как система не является линейно-независимой).

Это система уравнений:

a1+x1+a2+x2+a3+x3=S
x4+x5+x6+x7+x8+x9=S
x10+a4+x11+a5+x12+a6=S
x13+x14+x15+x16+x17+x18=S
a7+x19+a8+x20+a9+x21=S
x22+a10+x23+a11+x24+a12=S
a1+x4+x10+x13+a7+x22=S
x1+x5+a4+x14+x19+a10=S
a2+x6+x11+x15+a8+x23=S
x2+x7+a5+x16+x20+a11=S
a3+x8+x12+x17+a9+x24=S
x3+x9+a6+x18+x21+a12=S
a1+x5+x11+x16+a9+a12=S
x3+x8+a5+x15+x19+x22=S
a1+a10+a8+x16+x12+x9=S
x4+x1+x23+x20+x17+a6=S
x10+x5+a2+a11+a9+x18=S
x13+a4+x6+x2+x24+x21=S
a7+x14+x11+x7+a3+a12=S
x3+x24+x20+x15+a4+x4=S
x9+a3+a11+a8+x14+x10=S
a6+x8+x2+x23+x19+x13=S
x18+x12+x7+a2+a10+a7=S
x21+x17+a5+x6+x1+x22=S

Просьба ко всем: решить приведённую систему уравнений. Решение желательно представить в виде формул для вычисления x_k (как приведённая выше формула для пандиагонального квадрата 5-го порядка).
Заранее благодарю.

[svb]

Я раньше давал ссылку, где указано как получать для пандиагональных квадратов выражения для элементов через независимые переменные в общем случае. Даю более развернутое изложение:
Пусть $E(i,j)$ матрица $(i=0...N-1, j=0...N-1)$ у которой $E(i,j)=0 при j=N-1, i=N-3, i=N-2, i=N-1$ - т.е. всего $(N-1)*(N-3)$ независимых переменных.
Тогда элементы пандиагонального квадрата $A(i,j)$ выражаются через эти переменные следующим образом:
$A(i,j)=S/N+E(i,j)+E(i-2,j+1)+E(i-3,j-1)+E(i-1,j-2) -E(i,j-1)-E(i-1,j+1)-E(i-3,j)-E(i-2,j-2)$,
где $S$ - магическая сумма.
Индексы берутся по модулю $N$.
Возможно, что в практическом плане это и не интересно. На самом деле из любой матрицы $E(i,j)$ по последней формуле получается пандиагональный квадрат и тот специальный вид (с 0-ми) просто выделяет независимые переменные. К сожалению при этом теряется симметрия, что очень нежелательно.