Магические квадраты

[SerjeyMinsk]

Подскажите, а зачем нужны магические квадраты и какое количество их можно составить? Или этим бесконечно можно заниматься?
И почему они магические?

[Nataly-Mak]

Для начала прочтите всю тему

maxal
если составлять идеальный квадрат 7-го порядка из набора комплементарных пар с одинаковой суммой в паре, то магическая константа квадрата будет известна.
Значит, применение примитивного квадрата даёт большой выигрыш в количестве свободных переменных, в вашей формуле 12, а в этой формуле 7.

Пока я не нашла по этой программе идеального квадрата. Проверила наборы комплементарных пар до значения суммы в паре 1966.
Программа выполняется довольно быстро. Пока максимальное количество пар было 34 (с суммой в паре 1954).

[Nataly-Mak]

Проверила идею построения нетрадиционного идеального квадрата с помощью примитивного квадрата на примере квадрата 5-го порядка.
Взяла построенный мной (другим методом) идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел:

113 1151 1229 911 101
839 521 41 1013 1091
941 953 701 449 461
311 389 1361 881 563
1301 491 173 251 1289

Ввела числа, составляющие этот квадрат, в программу построения примитивного квадрата 5-го порядка, программа мгновенно выдала следующий примитивный квадрат:

41  101  491  881  941 
113  173  563  953  1013 
251  311  701  1091  1151 
389  449  839  1229  1289 
461  521  911  1301  1361

Применив к этому примитивному квадрату преобразование Россера, получаю следующий идеальный квадрат:

41 1151 1301 563 449
911 173 389 941 1091
1289 881 701 521 113
311 461 1013 1229 491
953 839 101 251 1361

Всё чётко. При этом идеальный квадрат получился не эквивалентный построенному мной ранее.

Таким образом, можно надеяться, что и для идеальных квадратов 7-го порядка этот алгоритм сработает.

Вот появилась идея ввести в программу построения примитивного квадрата 7х7 (которая учитывает наличие свойства ассоциативности) набор из 556 комплементарных пар смитов, приведённый maxal'ем
Найдётся ли в этом случае примитивный квадрат, который даст идеальный квадрат 7-го порядка из смитов?
Но боюсь, что моя программа не вырулит с таким большим массивом.
Кстати, посмотрела ещё раз на формулу построения; кажется, количество свободных переменных можно сократить до 6.

[Nataly-Mak]

Так и манит идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел

Последний проверенный набор из 60 комплементарных пар с суммой в паре 4486. Пока нет квадрата. А идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел получился очень быстро.

[Nataly-Mak]

И где все?
В Екатеринбурге уже не жарко.
svb, а у вас как погодка? Жарит? У нас по-прежнему +37 - +39.

Да-а-а, чертовски приятно стремиться к идеалу. Но достигнуть его очень трудно.
Пока у меня идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел не сложился. Последний проверенный набор из 82 комплементарных пар с суммой в паре 7354.
Назову этот алгоритм построения идеального квадрата 7-го порядка алгоритмом № 1.

Раздел теории чисел, занимающийся поиском арифметических прогрессий из простых чисел, явно отстаёт от раздела, занимающегося построением магических квадратов из простых чисел. Наверное, энтузиастов мало
До сих пор не найдена арифметическая прогрессия из простых чисел длины 49. Тогда у нас не было бы никаких проблем и один идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел уже был бы готов, правда, скорее всего, не наименьший.
Таким образом, идеал, к которому я стремлюсь, теоретически достижим. Более того, по предложенному мной алгоритму, если идеальный квадрат не найдётся из чисел, не составляющих арифметическую прогрессию, может быть найдена эта самая арифметическая прогрессия длины 49. Ну, если идти по этому алгоритму до победы, то есть до построения идеального квадрата. Но я всё же надеюсь, что до прогрессии длины 49 идти не придётся и идеальный квадрат найдётся раньше.

Теперь предложу ещё один алгоритм построения нетрадиционного идеального квадрата 7-го порядка – алгоритм № 2.
Для этого алгоритма тоже нужны арифметические прогрессии, но не такие длинные. Надо найти всего 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, но первые члены этих прогрессий тоже должны составлять арифметическую прогрессию.

Из смитов, например, 7 прогрессий с одинаковой разностью найдены, но только первые члены этих прогрессий не образуют арифметическую прогрессию. Из таких прогрессий можно составить пандиагональный квадрат (я его составила и здесь показала), но он не будет обладать свойством ассоциативности.

Из простых чисел я бегло просмотрела весь сайт с арифметическими прогрессиям и не нашла даже 7 прогрессий длины 7 с одинаковой разностью хотя бы и с произвольными первыми членами. Может быть, просмотрела.

Приведу пример реализации данного алгоритма для произвольных натуральных чисел. Сами прогрессии и есть уже готовый примитивный квадрат:

3 13 23 33 43 53 63
6 16 26 36 46 56 66
9 19 29 39 49 59 69
12 22 32 42 52 62 72
15 25 35 45 55 65 75
18 28 38 48 58 68 78
21 31 41 51 61 71 81

Разность арифметических прогрессий равна 10, первые члены прогрессий образуют арифметическую прогрессию с разностью 3.
Дальше можно сочинить преобразование, превращающее этот примитивный квадрат в идеальный, как это у Россера. Но проще ничего не сочинять. Просто взять классический идеальный квадрат:

13 21 22 30 38 46 5
23 31 39 47 6 14 15
40 48 7 8 16 24 32
1 9 17 25 33 41 49
18 26 34 42 43 2 10
35 36 44 3 11 19 27
45 4 12 20 28 29 37

Пронумеруем числа примитивного квадрата в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки, и запишем их в матрицу 7х7 в соответствии с числами классического квадрата (это суть номера чисел в примитивном квадрате). В результате получим такой идеальный квадрат:

56 69 12 25 38 51 43
22 35 48 61 53 66 9
58 71 63 6 19 32 45
3 16 29 42 55 68 81
39 52 65 78 21 13 26
75 18 31 23 36 49 62
41 33 46 59 72 15 28

Итак, для построения идеального квадрата 7-го порядка из простых чисел или из смитов по алгоритму № 2 надо найти 7 арифметических прогрессий длины 7 (из простых чисел или из смитов) с одинаковой разностью такие, что их первые члены образуют арифметическую прогрессию.

Наконец, есть алгоритм № 3 – это общая формула типа 13 + 36 (13 свободных переменных и 36 зависимых переменных). Такая формула есть у maxal’а.

Я пока не преобразовала свою общую формулу пандиагонального квадрата с учётом свойства ассоциативности. Напомню, что общая формула для пандиагонального квадрата 7-го порядка (полученная решением СЛУ) содержит 24 свободных элемента (у меня формула составлена для массива, состоящего точно из 49 чисел). Если учесть, что один элемент можно не варьировать (из-за пандиагональности), остаётся 23 свободных элемента. Это очень много и вряд ли такую формулу можно реализовать.
Кстати, в программе построения примитивного квадрата для пандиагонального квадрата, не обладающего свойством ассоциативности, всего 13 свободных элементов. Если же заранее известна магическая константа будущего пандиагонального квадрата, то количество свободных элементов будет 12. Это показывает, насколько эффективно применение примитивного квадрата.

[Nataly-Mak]

Устала выполнять программу для простых чисел и проделала такой
эксперимент.
Вместо массива простых чисел ввела в программу построения примитивного квадрата (для идеального магического квадрата) массив первых 300 натуральных чисел.
1) центральный элемент – 25
количество комплементарных пар – 24
примитивный квадрат:

1  2  4  6  7  3  5 
 8  9  11  13  14  10  12 
 15  16  18  20  21  17  19 
 22  23  25  27  28  24  26 
 29  30  32  34  35  31  33 
 36  37  39  41  42  38  40 
 43  44  46  48  49  45  47

Из этого примитивного квадрата получается классический идеальный квадрат, это я уже показала выше.
Продолжаю, дальше уже пойдут примитивные квадраты, из которых получаются нетрадиционные идеальные квадраты.

2) центральный элемент - 26
количество комплементарных пар – 25
примитивный квадрат:

1  2  4  6  7  3  5 
 8  9  11  13  14  10  12 
 15  16  18  20  21  17  19 
 23  24  26  28  29  25  27 
 31  32  34  36  37  33  35 
 38  39  41  43  44  40  42 
 45  46  48  50  51  47  49

3) центральный элемент – 27
количество комплементарных пар – 26
примитивный квадрат:

1  2  4  6  7  3  5 
 8  9  11  13  14  10  12 
 15  16  18  20  21  17  19 
 24  25  27  29  30  26  28 
 33  34  36  38  39  35  37 
 40  41  43  45  46  42  44 
 47  48  50  52  53  49  51

4) центральный элемент – 28
количество комплементарных пар – 27
примитивный квадрат:

1  2  4  6  7  3  5 
 8  9  11  13  14  10  12 
 15  16  18  20  21  17  19 
 25  26  28  30  31  27  29 
 35  36  38  40  41  37  39 
 42  43  45  47  48  44  46 
 49  50  52  54  55  51  53

и т. д.

центральный элемент – 50
количество комплементарных пар – 49
примитивный квадрат:

1  2  4  6  7  3  5 
 8  9  11  13  14  10  12 
 15  16  18  20  21  17  19 
 47  48  50  52  53  49  51 
 79  80  82  84  85  81  83 
 86  87  89  91  92  88  90 
 93  94  96  98  99  95  97

Все эти примитивные квадраты превращаются с помощью преобразования Россера в идеальные квадраты.

Получилась последовательность нетрадиционных идеальных квадратов 7-го порядка, центральные элементы которых образуют следующую последовательность:
26, 27, 28, 29, 30, …
Понятно, что магические константы этих идеальных квадратов образуют арифметическую прогрессию с разностью 7:
182, 189, 196, 203, 210, …
Последовательность похоже бесконечная. Это у меня первая последовательность магических квадратов получилась.

[Pavlovsky]

Пандиагональный МК 10х10 магическая сумма 3738. Это еще не минимум, но уже очень близко!

251    257    641    263    691    577    149    389    137    383
 163    331    433    241   1097    347    103    571     73    379
 709    613    179    503    317    443    653    293     11     17
1103    419    109    601    193    397    457    373      7     79
 719    479     23     47     29     53    739    727    359    563
 487    439     31    211     13    151   1109    449    229    619
  59    167    919    787    761    599     89    233     41     83
  19    181   1229    467    523    661     61    277     37    283
 131    353    107    269     71    197    239    227   1321    823
  97    499     67    349     43    313    139    199   1523    509

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
прочла ваше сообщение на форуме Портала ЕН.
Не вникала в ваш алгоритм, но одно замечание с самого начала.
Вы модифицируете алгоритм Россера для построения примитивного квадрата 5-го порядка, ссылаясь на то, что этот алгоритм не даёт возможности строить примитивные квадраты с заранее заданной магической константой будущего пандиагонального квадрата. Это неверно. Ведь магическая константа будущего пандиагонального квадрата полностью определяется элементами первой строки и первого столбца примитивного квадрата Россера, а именно:

S = a_{12} + a_{13} + a_{14}+a_{15} +a_{21} + a_{31} + a_{41} + a_{51} - 3*a_{11}

Это как раз и есть сумма диагональных элементов примитивного квадрата.
Так что напрасно вы модифицируете алгоритм Россера для примитивного квадрата.
____

Сейчас построила последовательность пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел.
Замечательно строятся эти квадраты. С ходу построила 57 квадратов.
Вот несколько магических констант этой последовательности квадратов:

240, 252, 408, 420, 504, 528, 540, 576, 600, 612, 648, 660, ...

57-ой квадрат имеет магическую константу 1400.

Можно предлагать последовательность в OEIS

[Nataly-Mak]

Наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел с магической константой 240 я построила давно (ещё по формуле Бергхольта), и он был здесь показан, кстати, он есть и в новой последовательности A179440.
Покажу два следующих пандиагональных квадрата из простых чисел.

Это квадрат с магической константой 252:

13 103 83 53
89 47 19 97
43 73 113 23
107 29 37 79

Следующий квадрат имеет магическую константу 408:

5 173 157 73
163 67 11 167
47 131 199 31
193 37 41 137

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #343392 писал(а):

Pavlovsky
Ведь магическая константа будущего пандиагонального квадрата полностью определяется элементами первой строки и первого столбца примитивного квадрата Россера, а именно:

S = a_{12} + a_{13} + a_{14}+a_{15} +a_{21} + a_{31} + a_{41} + a_{51} - 3*a_{11}

Ситуация такова, что по этой формуле магическую сумму будущего пандиагонального квадрата вы узнаете только когда заполните целиком первую строку и колонку пандиагонального квдарата.

я сейчас делаю так.
1) Последовательно формирую пятерки простых чисел, которые в сумме дают заданную магическую сумму (a_{11},a_{22},a_{33},a_{44},a_{55}).
2) Когда очередная пятерка сформирована, помещаю эту пятерку в диагональ будущего примитивного квдарата.
3) Далее, последовательно, путем перебора, начинаю заполнять первую строку (a_{12},a_{13},a_{14},a_{15}). При этом при добавлении очердного числа в первую строку, проверяю есть ли возможность построить примитивный квадрат. Если построить квадрат с заданной диагональю невоможно возвращюсь к п.1.

Такой алгоритм позволяет очень существенно сократить перебор.

[Nataly-Mak]

Тогда вы просто не точно выразились, сказав, что оригинальный алгоритм Россера не даёт возможности строить примитивный квадрат с заранее заданной константой будущего пандиагонального квадрата.
У меня программа составлена по алгоритму Россера. Совершенно верно: магическая константа определяется после того, как заданы все элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата.
Например, сейчас я запустила программу, задав магическую константу в интервале [1837, 1869).
Покрутила её немного, квадраты строятся с такими магическими константами:

1837, 1843, 1849, 1855, 1861, 1867

Может есть ещё какие-нибудь, я прервала программу.
Далее у меня есть вариант программы, в котором я задаю конкретную магическую константу. В этом варианте у меня уже 8 свободных элементов (в общем варианте 9 свободных элементов). Если примитивный квадрат существует, то он строится довольно быстро. Но надо построить не один, а 4 примитивных квадрата. Как я действую дальше, уже описывала на Портале ЕН.

[Nataly-Mak]

Напортачила немного с магическими константами пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел
Сейчас начала начисто переписывать черновые записи и обнаружила, что за константой 252 следует не константа 408, а константа 288. Ну, вот и пандиагональный квадрат с этой константой:

7 107 103 71
113 61 17 97
41 73 137 37
127 47 31 83

А потом ещё идёт константа 372, и уже после неё 408.

От этой жары мозги совсем расплавились.

[Nataly-Mak]

Хотела составить аналогичную последовательность магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка из смитов. Не тут-то было! Проверила наборы комплементарных пар до суммы в паре 7496 (для этой суммы набор состоит из 20 комплементарных пар). Ни одного пандиагонального квадрата не построилось.
Итак, в этой последовательности есть только один - наименьший - пандиагональный квадрат, найденный maxal'ем, с магической константой 14560.

maxal
если есть желание и время, продолжите последовательность.

Далее попыталась составить последовательность идеальных квадратов 5-го порядка из простых чисел. Наименьший найден мной недавно и имеет магическую константу 3505. Второй квадрат пока не нашла.

Pavlovsky
предлагаю вам сделать последовательность пандиагональных квадратов 5-го порядка из простых чисел, поскольку начинаться она будет с найденного вами наименьшего квадрата с магической константой 395. У вас уже все нужные для этого примитивные квадраты 5-го порядка имеются.

[Nataly-Mak]

Забыла сказать: главная цель в поиске следующих пандиагональных квадратов 4-го порядка из смитов у меня была - поиск четырёх пандиагональных квадратов с одинаковой магической константой (все квадраты составлены из различных чисел), из которых можно будет составить пандиагональный квадрат 8-го порядка (по решётке Россера).

Pavlovsky
а как насчёт девяти пандиагональных квадратов 5-го порядка из простых чисел с одинаковой магической константой? Вы бы заодно и такие квадраты присматривали. Мне не хватило для составления пандиагонального квадрата 15-го порядка из простых чисел всего одного квадратика, 8 штук я нашла.

Немного дополнила статью "Алгоритмы построения нетрадиционных ассоциативных квадратов".

[Nataly-Mak]

Такая задачка возникла.
Есть пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел, построенный из 9 пандиагональных квадратов 4-го порядка по решётке Россера:

37 97 73 863 1019 197 1423 1217 2083 2297 2287 2267
739 149 271 761 421 587 877 1847 1609 2243 2203 2153
293 613 523 487 647 827 1709 1249 1201 2131 2111 2069
1427 1223 2099 2293 2281 2251 41 103 89 859 1013 181
881 1871 1619 2239 2179 2143 743 173 281 757 397 577
1753 1279 1319 2087 2081 1951 337 643 641 443 617 709
887 1093 227 13 23 43 2273 2213 2237 1447 1291 2113
1433 463 701 67 107 157 1571 2161 2039 1549 1889 1723
601 1061 1109 179 199 241 2017 1697 1787 1823 1663 1483
2269 2207 2221 1451 1297 2129 883 1087 211 17 29 59
1567 2137 2029 1553 1913 1733 1429 439 691 71 131 167
1973 1667 1669 1867 1693 1601 557 1031 991 223 229 359

Можно ли получить из этого квадрата примитивный квадрат 12х12?