Матричные преобразования

[serval]

Пожалуйста, проверьте верны ли следующие преобразования

$\langle \vec x \vert AB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AIB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AAA^{-1}B \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert A^2B^T \left(A^{-1}\right)^T \vert \vec y \rangle$

Здесь бра- и кет-векторы означают лишь вектор-строку и вектор-столбец, $I$- единичная матрица.

[Circiter]

По крайней мере правдоподобно...

[Alexiii]

$(A^{-1}B)^{T}=B^{T}(A^{-1})^{T}\neq A^{-1}B$, если $A^{-1}B$ не симметричная матрица

[serval]

Изначально $\langle \vec x \vert AB \vert \vec y \rangle=0$
Далее, как я понимаю, $\langle \vec x \vert AIB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AAA^{-1}B \vert \vec y \rangle=0$ - тут всё однозначно.
А как переставить местами $A^{-1}$ и $B$ чтобы результат остался равен нулю? Обе матрицы не симметричные.

[ewert]

serval в сообщении #343208 писал(а):

Изначально $\langle \vec x \vert AB \vert \vec y \rangle=0$
Далее, как я понимаю, $\langle \vec x \vert AIB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AAA^{-1}B \vert \vec y \rangle=0$ - тут всё однозначно.
А как переставить местами $A^{-1}$ и $B$ чтобы результат остался равен нулю? Обе матрицы не симметричные.

Собственно, Вы вот чего хотите: у Вас сначала $C\vec x\perp D\vec y$ (где $C^T=A^2$ и $D=A^{-1}B$, ну или наоборот с транспонированием, я не помню, как там в точности у бракетов, но это не важно). А потом хочется $C\vec x\perp D^T\vec y$. А с какой стати?...

Да, и ещё (на всякий случай). Даже если б оба сомножителя были симметричными -- это не означало бы симметричности их произведения.

[serval]

ewert в сообщении #343214 писал(а):

А с какой стати?...

Я действую на вектор $\vec x$ оператором $A$ и мне нужно знать чем подействовать на $\vec y$ чтобы изначальная ортогональность сохранилась.
Только считайте, что сначала ортогональны векторы $\langle \vec x \vert AB \ \perp \ \vert \vec y \rangle$

[ewert]

Задача не поставлена.

Во-первых, ничего не сказано про эти векторы. Можно лишь предположить, что имелась в виду некоторая фиксированная пара векторов. Поскольку если предположить, что равенства должны выполняться для всех пар, то задача бессмысленна.

Во-вторых, теперь уже непонятно, что имелось в виду под "изначальной ортогональностью".

Сформулируйте чётко: что в точности дано и что в точности требуется найти.

[serval]

ewert в сообщении #343244 писал(а):

что в точности дано и что в точности требуется найти

Дано:

$\vec x=\vec e_1=(1,0,0,0,0)$- первый орт,
$\vec y=\vec s^{\ T}$, где $\vec s$- любой из множества векторов все компоненты которых, кроме трёх, равны нулю. Ненулевые компоненты: один компонент равный $-1$ - может стоять на любой позиции, два компонента каждый из которых равен $1$ - стоят на позициях сумма номеров которых равна номеру позиции компонента $-1$. Например, $\vec s=(0,1,1,0,-1)$ - компонент $-1$ стоит на 5-й позиции, а компоненты $1$ стоят на 2-й и 3-й позициях ( $2 + 3 = 5$ ).

Матрицы:

$A=\left[ \begin {array}{ccccc} 1&1&0&0&0\\\noalign{\medskip}0&2&2&0&0 \\\noalign{\medskip}0&0&3&3&0\\\noalign{\medskip}0&0&0&4&4 \\\noalign{\medskip}0&0&0&0&5\end {array} \right]$- верхняя ленточная матрица,

$B=\left[ \begin {array}{ccccc} 1&1&1&1&1\\\noalign{\medskip}0&1&2&3&4 \\\noalign{\medskip}0&0&1&3&6\\\noalign{\medskip}0&0&0&1&4 \\\noalign{\medskip}0&0&0&0&1\end {array} \right]$- транспонированный треугольник Паскаля.

Далее по условию первого поста:

$\langle \vec x \vert AB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AIB \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert AAA^{-1}B \vert \vec y \rangle=0$

Задача: поменять местами матрицы $A^{-1}$ и $B$ так, чтобы ортогональность векторов $\vec x$ и $\vec y$ не нарушилась.

Цель: исследовать свойства векторов в которые отобразится множество векторов $\vec y$ под действием матрицы полученной после перестановки с матрицей $B$.

P.S.
1. Размерность не важна. Вместо $N=5$ можно взять любую понравившуюся.
2. В векторе $\vec s$ компонент $-1$ может стоять на любой позиции, а не только на последней - лишь бы выполнялось условие на позиции двух других значащих компонентов.

[serval]

Честно говоря, я не понимаю смысла всех этих уточнений.
Вопрос очень прост - как поменять местами две матрицы чтобы их произведение не изменилось?
Нужна обратная к $A$ матрица? Я дам.

[ewert]

serval в сообщении #343291 писал(а):

Вопрос очень прост - как поменять местами две матрицы чтобы их произведение не изменилось?

1). Вообще говоря, никак.

2). И к ортогональности как таковой это никакого отношения не имеет.

3). А поменять местами -- просто: если сперва одна матрица стояла слева, а другая справа, то теперь пускай будет наоборот. И -- никак иначе их не переставить.

Постановка задачи по-прежнему отсутствует.

[serval]

ewert в сообщении #343297 писал(а):

Постановка задачи по-прежнему отсутствует

Постановка задачи: Найти пару матриц, являющихся функциями исходных матриц, произведение перестановки которых равно произведению исходных матриц

$f(B) \times g(A^{-1})=A^{-1} \times B$

Граничным условием является сохранение ортогональности векторов

$\langle \vec x \vert A \times B \vert \vec y \rangle=\langle \vec x \vert A^2 \times f(B) \times g(A^{-1}) \vert \vec y \rangle$

Все векторы и матрицы даны.

Можно так: Дано действие линейного оператора на вектор нормали к плоскости. Найти линейный оператор действующий на плоскость (на векторы лежащие в плоскости) так, чтобы её (их) нормальность к данному вектору сохранилась.

Выбирайте любую из двух постановок.

[serval]

Очень прошу, если задачу невозможно решить - покажите почему.
Проведите решение до непреодолимого затруднения. На котором можно остановиться сказав - "Дальше ничего нельзя сделать потому что ... " С указанием - почему.

-- Вс авг 08, 2010 17:27:13 --

ewert в сообщении #343297 писал(а):

Вообще говоря, никак

Можете показать - почему?

ewert в сообщении #343297 писал(а):

к ортогональности как таковой это никакого отношения не имеет

Сохранение ортогональности векторов - условие задачи.

ewert в сообщении #343297 писал(а):

если сперва одна матрица стояла слева, а другая справа, то теперь пускай будет наоборот

Я указал условие - сохранение значения произведения матриц.
Вы же всё прекрасно понимаете, зачем отвечаете если нечего ответить?

[ewert]

serval в сообщении #343305 писал(а):

Постановка задачи: Найти пару матриц, являющихся функциями исходных матриц,

Не постановка: хотя бы потому, что не сказано, что понимается под функцией от матрицы. А это нетривиально.

serval в сообщении #343305 писал(а):

Граничным условием является сохранение ортогональности векторов

Оно не "граничное", но дело не в этом. Прежде чем говорить о некоем "сохранении" -- следует указать, какое преобразование пар векторов имеется в виду. Потом уж можно ставить вопрос о самом преобразовании. Увы, не указано.

serval в сообщении #343305 писал(а):

Можно так: Дано действие линейного оператора на вектор нормали к плоскости.

Так нельзя. Слово "плоскость" встречается впервые. Снова формулировка лишена смысла.

serval в сообщении #343319 писал(а):

Можете показать - почему?

Могу. Потому. Что матрицы, наугад взятые, не обязаны коммутировать. Читайте внимательно.

serval в сообщении #343319 писал(а):

Сохранение ортогональности векторов - условие задачи.

Не условие. Не сказано, сохранение при каком в точности преобразовании.

Ну и т.д.

[serval]

ewert в сообщении #343324 писал(а):

не сказано, что понимается под функцией от матрицы

Укажите любые функции при которых условия задачи выполняются.

ewert в сообщении #343324 писал(а):

следует указать, какое преобразование пар векторов имеется в виду

Я указываю преобразование вектора. Требуется найти преобразование любого вектора, ортогонального указанному, сохраняющее эту ортогональность. Вы правда не понимаете о чём речь или притворяетесь?

ewert в сообщении #343324 писал(а):

Слово "плоскость" встречается впервые

Именно поэтому я привёл разъяснения в скобках. Вы же их прочли: вместо "плоскость" - "векторы лежащие в плоскости". Зачем лишние вопросы?

ewert в сообщении #343324 писал(а):

Могу. Потому. Что матрицы, наугад взятые, не обязаны коммутировать.

Я привел матрицы конкретно и однозначно. Смогите.

ewert в сообщении #343324 писал(а):

Не сказано, сохранение при каком в точности преобразовании.

Сказано. Я указал все участвующие в уравнении матрицы.

[ewert]

Всё, я отключаюсь. Может, кому-нибудь удастся всё же понять, в чём, собственно, задача.