Забавное уравнение

[arqady]

Решите следующее уравнение:

$$x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5=0$$

[ShMaxG]

Один из корней (с самой короткой формулой):

$\frac{1}{5}\sqrt[5]{-\frac{12679}{4}+\frac{3875}{4}\sqrt{5}+\frac{23095}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}+\frac{126635}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\cdot\sqrt{5}}}\sqrt{5}}+\frac{1}{5} \frac{-\frac{31}{4}-\frac{155}{4}\sqrt{5}+\frac{5611}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}-\frac{48887}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\cdot\sqrt{5}}}\sqrt{5}}{\sqrt[5]{(-\frac{12679}{4}+\frac{3875}{4}\sqrt{5}+\frac{23095}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}+\frac{126635}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\cdot\sqrt{5}}}\cdot\sqrt{5}})^3}+\frac{1}{5}\frac{(\frac{341}{4}+\frac{155}{4}\sqrt{5}+\frac{341}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}-\frac{13547}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\sqrt{5}}}\sqrt{5})}{\sqrt[5]{(-\frac{12679}{4}+\frac{3875}{4}\sqrt{5}+\frac{23095}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}+\frac{126635}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\cdot\sqrt{5}}}\cdot\sqrt{5})^2}}+\frac{31}{5\sqrt[5]{-\frac{12679}{4}+\frac{3875}{4}\sqrt{5}+\frac{23095}{52}\sqrt{-65-22\cdot\sqrt{5}}+\frac{126635}{52}\frac{i}{\sqrt{65+22\cdot\sqrt{5}}}\sqrt{5}}}-\frac{1}{5}$

Искренне надеюсь, что не налажал со скобками.

Отдельное спасибо Matlabу за предоставленное решение.

-- Вт июл 27, 2010 16:08:14 --

На всякий случай прямо скопирую ответ из Матлаба:

1/5*(-12679/4+3875/4*5^(1/2)+23095/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)+126635/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))^(1/5)+1/5*(-31/4-155/4*5^(1/2)+5611/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)-48887/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))/(-12679/4+3875/4*5^(1/2)+23095/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)+126635/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))^(3/5)+1/5*(341/4+155/4*5^(1/2)+341/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)-13547/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))/(-12679/4+3875/4*5^(1/2)+23095/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)+126635/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))^(2/5)+31/5/(-12679/4+3875/4*5^(1/2)+23095/52*(-65-22*5^(1/2))^(1/2)+126635/52*i/(65+22*5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2))^(1/5)-1/5

[arqady]

Спасибо! Проверить вручную, что это действительно даёт корни, по-моему, очень тяжело.
Моё уравнение связано с тригонометрией правильного $31$- угольника и, действительно, многие коэффициенты делятся на $31$.
Если интересно ещё искать корни, то скажу что их можно записать раз в двадцать короче.

[ShMaxG]

Хм, у меня первая мысль была - решать только тригонометрией.
Кажется, корни будут записываться в виде комбинаций и функций от синусов и косинусов углов (быть может не целых, но точно не кратных 3 , если из выражать в градусах ). Может быть даже, корни и есть чисто синусы или косинусы... Но признаться, мне не очень интересно, какой тут ответ) Скорее интересна идея.

[Vvp_57]

arqady в сообщении #341140 писал(а):

Решите следующее уравнение:

$$x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5=0$$

Корни этого уравнения легко записываются через соответствующие
косинусы. Привожу выражения для одного корня:

$$x1=2\cos \left( \frac{2\pi }{31}\right)+2\cos \left( \frac{10\pi }{31}\right)+2\cos \left( \frac{12\pi }{31}\right)$$

[arqady]

Vvp_57, точно!

[Alik]

Если мы говорим о правильном многоугольнике, то для циркуля и линейки число его сторон равно простому числу Ферма. Интересно как оно связано с коэффициентами полинома? Еще более интересно рассмотреть этот полином как производящую функцию. Какого вида возвратные уравнения она описывает?

[maxal]

arqady в сообщении #341140 писал(а):

Решите следующее уравнение:

$$x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5=0$$

Для полноты картины вот факторизация этого многочлена на линейные множители с косинусоидальными коэффициентами, полученная в мапле:

> alias(alpha=RootOf(cyclotomic(31,z))): simplify( subs(alpha=exp(2*Pi*I/31),factors(x^5+x^4-12*x^3-21*x^2+x+5,alpha)) );
[1, [
[2*cos(15/31*Pi)+2*cos(13/31*Pi)+2*cos(3/31*Pi)+x, 1], 
[2*cos(4/31*Pi)+2*cos(6/31*Pi)+2*cos(8/31*Pi)+2*cos(14/31*Pi)-2*cos(15/31*Pi)-2*cos(13/31*Pi)-2*cos(11/31*Pi)-2*cos(9/31*Pi)-2*cos(7/31*Pi)-2*cos(5/31*Pi)-2*cos(3/31*Pi)+1+x-2*cos(1/31*Pi), 1], 
[-2*cos(8/31*Pi)-2*cos(14/31*Pi)+2*cos(9/31*Pi)+x, 1], 
[-2*cos(6/31*Pi)+2*cos(5/31*Pi)+2*cos(1/31*Pi)+x, 1], 
[-2*cos(4/31*Pi)+2*cos(11/31*Pi)+2*cos(7/31*Pi)+x, 1]
]]