Найти площадь плоской фигуры, заданной в координатах

[mihailm]

попробовать возвести в эти кубы

[AKM]

compaurum в сообщении #342538 писал(а):

$$\int\limits_0^1 \sqrt{(z-\frac12)^2+\frac 1{12}}dz$$

compaurum,
не понял, что Вас остановило. Этот интеграл табличный, должен легко взяться. У Вас не получается?

$$\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt=\frac12 t \sqrt{t^2+a^2} + \frac12 a^2 \ln(t+\sqrt{t^2+a^2}),$$

кажется не ошибся.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Извините. Я за обсуждением не слежу. Просто интересно, есть ли люди, помнящие такие интегралы на память? Совсем недавно считал такой интеграл (был вопрос про длину гиперболы). Но запомнить не удалось.

[AKM]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #342615 писал(а):

Просто интересно, есть ли люди, помнящие такие интегралы на память?

Такие люди, несомненно, есть. Достаточно, наверное, быть преподавателем --- и оно запомнится.
Я к таковым не отношусь. Делалось на работе, справочников под рукой не было (работа совсем не интегральная). Втихаря запустил известный интегратор, переписал ответ на бумажечку, догадался убрать множитель 2 из-под логарифма (как часть произвольной постоянной), потом вколотил в сообщение, всё наспех, с оглядками --- типа "никто не видит, что я сейчас вовсе не переводом с русского на польский занимаюсь?", вместо проверки возможных ошибок написал что-то вроде "надеюсь, не ошибся" (тем самым разрешая себе ошибиться ), итп. Не будь интегратора --- с гиперболической подстановкой справился бы наверняка. А то и домой бы за справочником прогулялся бы, благо 4 минуты идти, и дым уже рассеялся.

Типа так.

мат-ламер, AKM,
предлагаю вам оффтопик более не плодить.

[compaurum]

вообще у меня в таблице такого интеграла не было. я не знал что он табличный.

$$\frac{25\sqrt3}2\int\limits_0^1 \sqrt{(z-\frac12)^2+\frac 1{12}}dz=\frac{25\sqrt3}2(\frac12(z-\frac12)\sqrt{(z-\frac12)^2+\frac1{12}})+\frac1{24}\ln{((z-\frac12)+\sqrt{(z-\frac12)^2+\frac1{12}})}|^1_0=$$ $$=\frac{25\sqrt3}{48}({4\sqrt3}+\ln(\frac{2\sqrt3+3}{6})-\ln(\frac{2\sqrt3-3}{6}))$$

это окончательный ответ?

[ИСН]

Упростить ещё по мелочи, и если не сбились нигде в арифметике (проверьте железкой), то - да, всё.

[AKM]

$$\ln\frac{2\sqrt3+3}{6}-\ln\frac{2\sqrt3-3}{6} = \ln\frac{2\sqrt3+3}{2\sqrt3-3} = \ln\frac{(2\sqrt3+3)(2\sqrt3+3)}{(2\sqrt3-3)(2\sqrt3+3)}=\ldots$$

Чисто доделать и посмотреть, может покрасивше будет.

[GAA]

compaurum в сообщении #342694 писал(а):

это окончательный ответ?

Нет. В исходной задаче $t$ изменяется от 0 до $\pi$, а Вы нашли длину части кривой, соответствующей изменению от 0 до $\pi/2$. Теперь Вам нужно, либо еще найти интеграл от $\pi/2$ до $\pi$, либо, как я писал выше, доказать симметрию и умножить найденный вами выше результат на два.

Кроме того, т.к. $\int \sqrt{x^2 - a^2}$ в конспекте Вы не нашли, необходимо взять этот неопределенный интеграл. Две подсказки вам предложено: интегрирование по частям и гиперболическая замена. Еще возможно применить тригонометрическую замену, замену для квадратичной иррациональности (одну из подстановок Чебышева), замену для дифференциального бинома...

[compaurum]

до$\pi$ или до $2\pi$?

[GAA]

compaurum в сообщении #342744 писал(а):

до$\pi$ или до $2\pi$?

От $\pi/2$ до $\pi$ и сумму с первым интегралом удвоить; учитываем симметрию относительно оси OX (Вы же уже удваивали в своем первом сообщении, посвященном длине кривой). Или доказать симметрию относительно обеих осей и найденный Вами интеграл [от 0 до $\pi/2$] учетверить.

[compaurum]

Спасибо большое всем за помощь!!!
P.S. если еще вопросы будут по этой теме - задать лучше здесь или в новой теме?

// Если на приложения определенного интеграла, то лучше здесь. Модераторы просто тему переименуют в "Приложения определенного интеграла". / GAA

[compaurum]

Задача № 3. Найти обьем тела, ограниченого плоскостями $x=a,x=b$, если площадь поперечного сечения - функция$S(x)$
$S(x)=\frac1{\sin^2x\cos^2x},a=\frac\pi4,b=\frac\pi2$
Ищу обычно:
Hack attempt!

$\ctg\pi$ - не существует, а $\ctg\frac\pi2=0$
это что обьем бесконечный или здесь ошибка?

[ИСН]

Обьем бесконечный.

[gris]

Мне кажется, что $b=\dfrac{\pi}3$

[AKM]

compaurum,

Вы подвергаете себя опасности:

compaurum в сообщении #342941 писал(а):

$S=\int\limits^{\frac\pi2}_{\frac\pi4}\left(\sin x \cos x\right)^{-2}=\int\limits^{\frac\pi2}_{\frac\pi4}\left( \frac12\sin 2x\right)^{-2}=4\int\limits^{\frac\pi2}_{\frac\pi4}\frac1{sin^2 2x}=\ldots$

ИСН в сообщении #304104 писал(а):

Один студент тоже вот так всё время забывал писать в интегралах $dx$. Потом он пошёл на стройку и ему на голову упал кирпич.

Я, конечно, поправлю Ваше сообщение, но прошу Вас быть внимательнее. Я ведь не всегда смогу опередить Аннушку, разлившую масло...