комбинаторика и вероятности

[alx_12]

всё запуталось, помогите распутать :
7 белых и 5 чёрных шаров
а) A-вероятность вытащить 2 белых и 1 чёрный :

$$ P(A)=\frac{C(7,2)C(5,1)}{C(12,3)} $$

все комбинации по 2 белых из 7и $ C(7,2) $
все комбинации по одному чёрному из 5и $C(5,1)$
все комбинации по 3 шара из 12и $ C(12,3) $
тут вроде всё понятно, но вот дальше ...

б) B - вытащить минимум 2 белых шара :
как выше, только вместо - все комбинации по одному чёрному из 5и $C(5,1)$ , ставлю 10 вариантов выбора оставшегося шара

$$ P(B)=\frac{C(7,2)10}{C(12,3)} $$

так как с ответом не сошлось, я начал придумывать такое :
мысленно пронумерую все шары от 1 до 12, мне нужно узнать вероятность, что в начале цепочки первые 2 шара белые (как мне кажется смысл задачи не поменялся)
все комбинации по 2 белых из 7и $ C(7,2) $
все комбинации из оставшихся шаров 10!
всего комбинаций 12! (перестановок)

$$ P(B)=\frac{C(7,2)10!}{12!} $$

и ещё такая версия у меня : вытянуть белый шар это 7/12 , потом ещё один белый это 6/11 и того $ P(B)=\frac{7*6}{12*11} $

подскажите где я ошибаюсь.

[PAV]

Для справки: формула, которой Вы пользовались в первом пункте, называется формулой гипергеометрической вероятности.

А ошибка понятная и достаточно типичная. Вы считаете некоторые варианты по нескольку раз. Случаи, когда белых шаров ровно два, посчитаны в числителе единожды, а случаи, когда все три шара белые - трижды. Например, пусть шары с номерами 1,2,3 белые. Этот вариант будет учтен трижды следующим образом: первый раз - когда шары с номерами 1,2 вытянуты из белых ($C(7,2)$), а шар 3 - как один из 10 оставшихся; второй раз, когда 1,3 учтены в первом сомножителе, а 2 - во втором; третий раз, когда 2,3 учтены в первом, а 1 - во втором.

Вам нужно разбить событие в сумму двух, первое - это то, что посчитано в первом пункте задачи, а второе - это вероятность вытянуть все три белых шара. И сложить. А посчитать их одной формулой не получится.

-- Пт авг 06, 2010 09:39:20 --

Другие Ваши варианты тоже по разным причинам неправильные.

[ewert]

alx_12 в сообщении #342821 писал(а):

мысленно пронумерую все шары от 1 до 12, мне нужно узнать вероятность, что в начале цепочки первые 2 шара белые (как мне кажется смысл задачи не поменялся)

Поменялся. Сейчас (в обоих вариантах) Вы считаете вероятность того, что первые два шара из трёх выбранных будут белыми, а требовалось -- чтобы хоть какие-то два. Естественно, результат окажется занижен. При этом в первом из вариантов (${C_7^2\cdot10!\over12!}$) к тому же ещё и нарушена логика: множители $10!$ и $12!$ учитывают порядок расположения, а множитель $C_7^2$ -- не учитывает (тогда уж надо $A_7^2$).

[alx_12]

спасибо за ваши комментарии, многое проясняется, но ещё вот какой вопрос :
все комбинации $C_{12}^3$ =220
из них $C_5^3 $ чисто чёрные комбинации и $C_7^3$ чисто белые

как минимум 1 чёрный шар это все комбинации минус чисто белые комбинации
как минимум 1 белый шар это $C_{12}^3$ - $C_5^3 $

далее непонятно. минимум 2 белых это все комбинации $C_{12}^3$ минус все чисто чёрные $C_5^3 $ и все комбинации где присутствует 2 чёрных $C_5^2 $ ?

картина которую я вижу : всего $C_{12}^3$ =220 комбинаций
из них чисто белые $C_7^3$ = 35 и чисто чёрные $C_5^3 $ =10
остаётся 175 комбинаций из чёрных и белых шаров.
в этих 175-и $C_7^2=21$ комбинаций с двумя белыми шарами и $C_5^2=10$ комбинаций с двумя чёрными? а остальные 144 что тогда?

[PAV]

alx_12 в сообщении #342887 писал(а):

далее непонятно. минимум 2 белых это все комбинации $C_{12}^3$ минус все чисто чёрные $C_5^3 $ и все комбинации где присутствует 2 чёрных $C_5^2 $ ?

То, что я подчеркнул - правильно. Однако количество комбинаций с двумя черными шарами - это не $C_5^2$, а $C_5^2\cdot C_7^1$. Вы же перечисляете комбинации из трех шаров, так что третий (белый) тоже нужно задать.

[alx_12]

аааа, тоооочно! правило произведения вроде называется ) спасибо!

кстати все комбинации можно записать так :
$C_{12}^3=C_7^3+C_5^3+C_7^2C_5^1+C_5^2C_7^1 $

[PAV]

Да, правило произведения. Тоже одна из типичных ошибок: забывают, что объект, который перечисляется, должен быть задан полностью. Задают только часть (ту, которая фигурирует в словесном описании).

[ewert]

(Оффтоп)

"Все перепуталось, и некому сказать,
Что, постепенно холодея,
Все перепуталось, ..."