Откорытость и всюдуплотность отн.метрики

[Java]

И так, у нас есть множество
{x принадлежит R^2 , x_1 <> x_2}

и нужно определить является ли оно всюду плотным в R^2 относительно метрики
d(x,y)=|x_1 - y_1|+|x_2-y_2|
Как обосновать рассуждения?

[Руст]

Непонятно, какое у вас множество. А метрика топологически эквивалентна стандартной.

[незваный гость]

Вы имеете в виду ${\mathbb R}^2$, $x = (x_1,x_2) \in {\mathbb R}^2$ и $x_1 \ne x_2$?

[Java]

незваный гость да, я это и имел ввиду.

Мне непонятен самфакт плотности/открытости относительно метрики. Как метрика влияет на это?

[Capella]

Метрика подразумевает под собой расстояние между двумя точками. Плотным множеством в $\mathbb{R}^2$ если оно лежит там со свом замыканием, т.е. меньше-равно радиуса шара. Но под растоянием между точками можно как раз понять радиус шара, Вам стоит показать только, что он замкнут.
Я думаю так, что можно показать, что оно нигде плотно, т.е. найти такой шар,который не содержал-бы эти две точки или-же, по условию, опровергнуть это. Возьмите за вторую точку $\frac 1 n$ и покажите, что предел стремиться к нулю, тогда у вас получиться, что шар замкнут.

[незваный гость]

Множество $X$ всюду плотно в $Y$ (по определению), если в любой окрестности точки $Y$ найдется точка из $X$.

Попробуйте доказать или опровергнуть: $\forall y \in {\mathbb R}^2 \, \forall \varepsilon > 0 \, \exists x \in {\mathbb R}^2: (x_1 \ne x_2) \wedge d(y, x) < \varepsilon$

И еще совет: ${\mathbb R}^2$ в просторечье называют плоскостью. Попробуйте нарисовать Ваше множество.