как насчет такого неравенства:

Насколько я понял,

.
Пусть

, где

. Тогда

и мы должны доказать, что

, где

.
Тогда

.
Поэтому

выпукла на

и вогнута на
![$\left(-\infty,\ln{\frac{2}{n^2-1}}\right]$ $\left(-\infty,\ln{\frac{2}{n^2-1}}\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/3/c938997021e0a001833798f7894626f882.png)
.
Если по меньшей мере два из

меньше

, то

.
Если все

то

.
Ну и самый муторный случай, когда ровно один из

меньше

. Обозначим его через

. Тогда сумма оставшихся равна

.
Снова применяем неравенство Йенсена к функции

на

и получаем, что остаётся доказать, что

что проверяется, например, так:
Пусть

, где

. Тогда остаётся исследовать функцию

, где

.
Получаем:

Видим, что у

есть только два положительных корня:

и

, где

(это для

, а для

неравенство легко проверяется).
Поэтому

, а

и поскольку

, то неравенство доказано!