2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задача №1. Найти площадь
Сообщение31.07.2010, 00:20 


26/02/10
76
что-то не совсем понял насчет перехода. как перейти от параметрического к полярному уравнению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача №1. Найти площадь
Сообщение31.07.2010, 09:57 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
У Вас имеется параметрическое уравнение в декартовых координатах: $x(t),y(t)$. Если бы из него удалось исключить параметр $t$, то получилось бы неявное уравнение кривой в виде $F(x,y)=0$, а то и явное в виде $y=f(x)$.

Еще из него можно сделать параметрическое уравнение в полярных координатах $\rho(t),\varphi(t)$: $$
\rho(t)=\underbrace{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}_{=64-48\cos^2(t)},\quad 
\varphi(t)=\underbrace{\arctg\frac{y(t)}{x(t)}}_{=\arctg\frac{2\tg t}{3+3\tg^2 t}}.$$ (Формула для $\varphi(t)$ в таком виде верна только в первом квадранте).
Если бы из него удалось исключить параметр $t$, то получилось бы неявное полярное уравнение кривой, а то и явное привычное полярное уравнение в виде $\rho=\rho(\varphi)$.
В данном случае ничего этого не надо: достаточно формул-определений
$\rho(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}},\quad \varphi(t)=\arctg\frac{y(t)}{x(t)}$, что и проделано в вычислениях GAA.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача №1. Найти площадь
Сообщение31.07.2010, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Не надо переходить к полярному уравнению кривой. Замена сразу в интеграле.

-- Сб июл 31, 2010 11:07:38 --

AKM опередил

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача №1. Найти площадь
Сообщение31.07.2010, 13:27 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Дополню ответ AKM.
$\varphi = \left\{\begin{array}{l}
\arctg y/x, \quad x > 0, \\
\quad \pi/2,  \quad x = 0, y>0, \\
\quad -\pi/2, \quad x = 0, y<0, \\
\pi + \arctg y/x, \quad x < 0.
\end{array} \right$
При прибавлении постоянной под знаком дифференциала, значение интеграла не изменяется, поэтому в моем предыдущем сообщении выражение для интеграла справедливо, как при $x > 0$, так и при $x <0$.

На самом деле, полярная система координат к делу отношения не имеет.

1. Формула $S = \frac {1} {2} \int_{t_1}^{t_2}(y’x - yx’) \, dt$ легко может быть получена из геометрических соображений в частном случае, когда фигура является криволинейной трапецией «одновременно относительно осей Ox и Oy». Действительно, пусть криволинейная трапеция сначала ограничена снизу осью Ox, сверху $y(t)$, $x(t_2) < x < x(t_1)$, тогда $S = -\int_{t_1}^{t_2}y(t)x’(t) \, dt$. Пусть с другой стороны, криволинейная трапеция ограничена снизу осью Oy, сверху $x(t)$, $y(t_1) < y < y(t_2)$, тогда $S = \int_{t_1}^{t_2} x(t)y’(t) \, dt$. Складывая вмести эти два равенства, получим $2S = \int_{t_1}^{t_2} (x(t)y’(t) - y(t)x’(t) )\, dt$. В рассматриваемом примере, кривая симметрична относительно обеих осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь фигуры в первой четверти и умножить её на четыре; и, т.к. часть фигуры в первой четверти можно считать криволинейной трапецией как вида $0 < y < y(t)$, $x(\pi/2) < x < x(0)$, так и вида $0 < x < x(t)$, то $S = 4 \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (x(t)y’(t) - y(t)x’(t) )\, dt = 48\pi$.

2. В данном случае, рассматривается площадь фигуры ограниченной замкнутой линией, а потому формула $S = \frac {1} {2} \int_{t_1}^{t_2}(y’x - yx’) \, dt$ будет следствием формулы Грина, если выполнить интегрирование по замкнутой кривой, т.е., если $x(t_2)=x(t_1)$, $y(t_2)=y(t_1)$.

 Профиль  
                  
 
 Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 15:58 


26/02/10
76
спасибо. вроде понял тут.
хотел еще спросить про эту задачку:
Задача № 2. Найти длину кривой $x=5\cos^5t ; y=5sin^5t$. искал по формуле так:
$$\frac12L=\int\limits_0^\pi\sqrt{{((5\cos^5t)')}^2+{((5\sin^5t)')}^2}dt=\int\limits_0^\pi\sqrt{{((-25\cos^4t\sin t)}^2+{(25\sin^4t\cos t)}^2}dt=25\int\limits_0^\pi\sqrt{{((\cos^8t\sin^2 t)}+{(\sin^8t\cos^2 t)}}dt=$$
$$=25\int\limits_0^\pi|\sin t \cos t|\sqrt{\cos^6 t+\sin^6t}  dt=25\int\limits_0^\pi|\sin t \cos t|\sqrt{\frac{3\cos^2 t-\cos^2 {3t}+3\sin^2 t-\sin^2 {3t}}4}dt=25\int\limits_0^\pi|\sin t \cos t|\sqrt{\frac{3-1}4}dt=$$$$=\frac{25\sqrt 2}2\int\limits_0^\pi |\sin t \cos t| dt=\frac{25\sqrt 2}2$$
$L={25\sqrt2}$

спасибо за подсказку. вроде исправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
после исчезновения циферки 6 всё стало происходить как-то очень лихо

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 16:49 


26/02/10
76
ИСН в сообщении #342147 писал(а):
после исчезновения циферки 6 всё стало происходить как-то очень лихо


Вы про $\sin^6 t$?

я использовал формулу понижения степени:
$\sin^3 t=\frac{(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)}4$
так само и для косинуса
а потом $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
или опять что-то намудрил?

 Профиль  
                  
 
 Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 17:26 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Во-первых, у нас не принято тыкать. И во многих других приличных местах тоже пока не принято.
Во-вторых, формула $\sin^3 t=\frac{(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)}4$ верна при условии $t=\alpha$.
В-третьих, никогда не поверю, что $\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\equiv\frac12$.
(Хотя легко верю в $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha \equiv 1$).
Проверяйте внимательнее. Квадрат разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да, чувак, я именно про это. Куб. Из куба получить шестую. Сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 17:33 


26/02/10
76
формула вообще-то $\sin^3 t=\frac{(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)}4$
я ошибся - по привычке написал t
других идей у меня нету как отсюда добыть интеграл

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение02.08.2010, 18:25 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Не надо понижать степень. Совершенно стандартный путь решения.
Внесите $\cos t$ под знак дифференциала, а затем $\sin t$. Под знаком корня все выразите через $\sin^2 t$. Замените $\sin^2 t$ на $z$ и сведите к табличному интегралу $\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \, dx$. Если последний интеграл у Вас не считается табличным, возьмите его, например, интегрированием по частям.

-- Пн 02.08.2010 17:30:40 --

Совсем не обязательно, но удобно исследовать симметрию кривой. В случае симметрии относительно оси OY можно будет интегрировать от 0 до $\pi/2$ и удвоить результат. Это позволит не думать о модуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение03.08.2010, 14:47 


26/02/10
76
не пойму смысла вносить под дифференциал. что-то пробую - не получается так. не могли бы Вы показать?
P.S. по-моему видно что я хочу разобраться, а не тупо скатать решение. ответ я знаю (mathcad). хочу понять как решать такие уравнения. Спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение03.08.2010, 15:01 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Напишите, как Вы внесли под знак дифференциала и сделали замену $z=\sin ^2 t$; укажите, затем, что не получается.

-- Вт 03.08.2010 14:18:10 --

В качестве примера внесения под знак дифференциала [Демидович, № 1696].
$\int \frac {\sin x}{\sqrt{\cos^3 x}}  dx =  -\int \frac {d \cos x}{\sqrt{\cos^3 x}} = - \int z^{-3/2}dz = - \frac {z^{-1/2}}{-1/2} = \frac {2}{\sqrt {\cos x}}$.

P.S. В вашем случае интеграл определенный, и следует не забыть при замене «пересчитать» пределы интегрирования.

Убрал лишний дифференциал. Спасибо, EtCetera.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение03.08.2010, 15:38 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
compaurum
Кстати, здесь можно и другую замену сделать (также приводящую к $\int\sqrt{x^2\pm a^2}\, dx$). Для этого произведение синуса на косинус представим через синус удвоенного аргумента и внесем под дифференциал, получив там $\cos 2t$. А под корнем разложим сумму кубов на множители и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, затем выделим полный квадрат и еще раз воспользуемся тригонометрическим тождеством, и, наконец, произведение квадратов синуса и косинуса представим как квадрат синуса двойного аргумента и в последний раз воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Но все это, разумеется, при условии действия в пределах $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, т.к. на этом отрезке $\sin t\ge 0$ и $\cos t\ge 0$, а потому $|\sin t|=\sint t$ и $|\cos t|=\cos t$, что весьма удобно и снимает вопросы к модулям.

GAA

(маленькие поправки)

У Вас после первого равенства дифференциалы слегка расплодились. Ну, и последние два выражения явно скучают без констант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 2. Найти длину кривой
Сообщение04.08.2010, 14:40 


26/02/10
76
$$=25\int\limits_0^{\frac \pi 2}\sin t \cos t\sqrt{\cos^6 t+\sin^6t} dt=[z=\cos^2t;dz=-2\cos t \sin t dt]=-\frac {25}2 \int\limits_1^0 \sqrt{z^3+(1-z)^3}dz=\frac {25}2 \int\limits_0^1 \sqrt{z^3+(1-z)^3}dz$$
Если разложить как сумму кубов, то:
$$\frac {25}2 \int\limits_0^1 \sqrt{3z^2-3z+1}dz=\frac {25\sqrt3}2 \int\limits_0^1 \sqrt{z^2-z+\frac13}dz=\frac {25\sqrt3}2 \int\limits_0^1 \sqrt{(z-\frac12)^2+\frac 1{12}}dz$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group