Неравенство с параметром

[sasham26]

$(a-1)x>a^2-1$ решить для каждого значения а.
Сломал сегодня всю голову над таким простым неравенством:
посчитал для а=1 -узнал ,что корней нет- поделил обе части неравенства на (а-1) ( так как корней нет,то при делении ничего не потеряем)
получил: x-a>1
как итог вышло:
при а<-1 x<0, a>=-1 x>0
Чувствую,что что-то сделал неверно(
Что именно? на что обратить особое внимание?

[ShMaxG]

Вы когда делили забыли разобраться 2 случая. Когда то, на что делите, больше нуля и меньше.

И итог в корне не верный.

Вообще, по-подставляйте в неравенство разные $a$. И посмотрите.

[sasham26]

не совсем понял,что мне это даст...
при a-1>0 => a>1, x>0
а при a-1<0 =>a<1, x>0

но ведь при а<1 - a^2-1 может быть как отрицательным,так и положительным!

[ShMaxG]

Брррр, что-то ну вообще не то.

Вот смотрите, на примере.

Пусть дано неравенство с параметром: $\[ax > 1\]$, которое надо решить при всех $a$.
Если $a>0$, то делим на него и получаем, что $x>\frac{1}{a}$. Все. Этот случай рассмотрен. Остальные -- аналогично. Зачем Вы продолжаете еще что-то исследовать? Вот же, войдет в ответ.

-- Вс авг 01, 2010 14:05:42 --

sasham26 в сообщении #341934 писал(а):

а при a-1<0 =>a<1, x>0

Не верно. Контрпример: $a=-\frac{1}{2}$, $x=-1$.

[sasham26]

тогда получается:
я не делю неравенство на (а-1)
просто:
при а=0 , х>1
при а принадлежит промежутку(-1;0) ,x>0
при а принадлежит промежутку (0;1) , x<0
так?
PS >< такими темпами я точно на физтех не поступлю

[ShMaxG]

sasham26 в сообщении #341937 писал(а):

при а=0 , х>1

Нет. При $a=0$ будет $-x>-1$, что равносильно $x<1$.

-- Вс авг 01, 2010 14:21:45 --

sasham26 в сообщении #341937 писал(а):

я не делю неравенство на (а-1)

А Вы делите. И если правильно поделите, то получите верный ответ.

-- Вс авг 01, 2010 14:26:34 --

Да, и кстати. Окружайте формулы знаками доллара. По одному слева и справа. А то отправят в карантин.

[sasham26]

тогда требуется рассмотреть случаи с а=1,0 ,потом:
если при делении на (а-1) , (а-1)>0 , то х>0
если при делении на (а-1), (а-1)<0 ,то 2 случая
1)при a<0 , x>0
2)при a принадлежит промежутку (0;1) , x<0
так??

[ShMaxG]

В Вашем примере надо рассмотреть 3 случая: $a<1$, $a=1$, $a>1$. Потому что будем делить, а делить на 0 нельзя, значит надо рассмотреть второй случай отдельно. Но когда делим, знак неравенства может менятся, поэтому надо рассмотреть первый и третий случаи. И не более того.

[sasham26]

правильно ли я понял,что вначале надо рассмотреть случай при а=1
получается 0х>0 -неверно
Тогда:
При а>1 , X>0
При а<1 , если а-1<0 то а<1, тогда должно быть 2 случая ! ( первый с числами от -1 до 1,а второй с отрицательными)

[ShMaxG]

sasham26 в сообщении #341947 писал(а):

при а=1
получается 0х>0 -неверно

Так.

sasham26 в сообщении #341947 писал(а):

При а>1 , X>0

Нет. Делите правильно.

[sasham26]

0_0
почему?
если а>1 ,то (а-1)>0 - если мы поделим обе части на положительное выражение, то знак не поменяется
а еще: x>a+1 => x>0

[ShMaxG]

sasham26 в сообщении #341950 писал(а):

x>a+1 => x>0

Вот именно, что следовательно! Но ответ-то должен быть равносилен исходному неравенству!

[sasham26]

Чёрт! ничего не понимаю !
мне что просто так и оставить ответ x>a+1 0_0???
или x-a-1>0

[ShMaxG]

sasham26 в сообщении #341952 писал(а):

мне что просто так и оставить ответ x>a+1 0_0???

Да. Просто так и оставить. Ибо $a$ - это число, которое ничуть не хуже 5, или даже $\sqrt{3}$. Оно фиксировано. Но ответ зависит от того, какое оно. Вот и все. Ведь необходимо и достаточно наличия равносильности между ответом и задачей. Если она таким образом достигается, то и прекрасно.

[sasham26]

тогда получается:
я вначале рассматривая неравенство при а=1 ,при а =0
потом при а<1 , если а-1<0 то а<1, тогда должно быть 2 случая ! ( первый с числами от -1 до 1,а второй с отрицательными)
и если а>1 ,то (а-1)>0 - если мы поделим обе части на положительное выражение, то знак не поменяется:
x>a+1

так???