Загадочные вероятности квантовой механики

[grisania]

Как появляются самые загадочные вероятности КМ с которыми не согласились даже такие великие физики, как например, Эйнштейн, сказавший, что Бог не играет в кости (Does God play dice).

Любому студенту-физику преподают, что квантовые вероятности возникают в результат квантового измерения, во время которого происходит коллапс волновой функции, что дает возможность применять правило Борна. Поясню, как это делается.
В квантовой механике утверждается, что квантовая система может находится
1) в чистом состоянии – её состояние задается волновой функцией $\psi \in H,\ \left\| \psi \right\|=1$, где $H$ -бесконечномерное комплексное гильбертово пространство.
2) в смешанном состоянии – это означает, что её стояния размазаны по гильбертову пространству $H$ с какой-то мерой, обычно физики говорят, что эта мера дискретна.
Пусть квантовая система находится в чистом состоянии $\psi \in H$ и мы хотим измерить какую-то физическую величину квантовой системы (например, энергию), но тогда физики говорят, что для этого надо привести систему в состояния, в которых эта физическая величина измеряется или как говорят физики наблюдается “observable”. Сама наблюдаемая задается самосопряженным операторам $A$, девствующим в $H$ (предположим, что его спектр дискретный).
Набор состояний, в которых можно измерить значения наблюдаемой $A$ задается набором собственных векторов $\left\{ {{\psi }_{i}}\in H \right\}_{i=1}^{\infty }$ оператора $A$, если его спектр дискретный. Тогда физики утверждают, что на самом деле система находится не в чистом состоянии$\psi \in H$, а в суперпозиции состояний, т.е. она разложена в ряд
$\psi ={{c}_{1}}{{\varphi }_{1}}+{{c}_{1}}{{\varphi }_{1}}+\cdots =\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{c}_{i}}{{\varphi }_{i}}}$
и
$A{{\varphi }_{i}}={{\lambda }_{i}}{{\varphi }_{i}}$, где $\left\{ {{\lambda }_{i}}\in R \right\}_{i=1}^{\infty }$ - собственные значения оператора $A$.
Здесь и возникаю квантовые вероятности. Согласно правилу Борна вероятность измерить значение физической величины ${{\lambda }_{i}}$ равна ${{p}_{i}}={{\left\| {{c}_{i}} \right\|}^{2}}$. Если квантовая система находится в состояние ${{\psi }_{i}},$ $i=1,\ldots \infty $, то $A{{\varphi }_{i}}={{\lambda }_{i}}{{\varphi }_{i}}$ и вероятность измерить значение физической величины ${{\lambda }_{i}}$ равно ${{p}_{i}}={{\left\| {{c}_{i}} \right\|}^{2}}=1$, а ${{p}_{j}}=0$, $j=1,\ldots \infty $, где $i\ne j$.
Возникает много вопросов.
1-ый вопрос.
Причем здесь чистое состояние квантовой системы и суперпозиция. Мне как человеку разумному понятно такое. Физик пытается что-то измерить, т.е. наблюдаемую, заданную самосопряженным операторам $A$. При этом физик может соорудить приборы, которые соответствуют различным точно измеряемым значениям наблюдаемой $A$. Эти приборы соответствуют набору собственных векторов $\left\{ {{\psi }_{i}}\in H \right\}_{i=1}^{\infty }$ оператора $A$, если его спектр дискретный. Если квантовая система находится в состояние ${{\psi }_{i}},\,1,\ldots \infty $, то $A{{\varphi }_{i}}={{\lambda }_{i}}{{\varphi }_{i}}$
Далее физик производит измерения и видит, что физическая систем находится не в точно определенном состоянии, а она находится в состоянии ${{\psi }_{i}}$ с вероятностью ${{p}_{i}}$. Произведя большое количество опытов, физик может статистически определить вероятности ${{p}_{i}}$.
Следовательно, бог или природа бросает физическую систему на собственные вектора $\left\{ {{\psi }_{i}}\in H \right\}_{i=1}^{\infty }$.
Это в корне расходится, с тем, что утверждается в КМ, что система находится чистом $\psi \in H$ состоянии, которое разложено в суперпозицию
$\psi ={{c}_{1}}{{\varphi }_{1}}+{{c}_{1}}{{\varphi }_{1}}+\cdots =\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{c}_{i}}{{\varphi }_{i}}}$
Нет суперпозиции, это лукавого. Реально физик наблюдает, что его физическая система размазана по ортогональным векторам собственных векторов $\left\{ {{\psi }_{i}}\in H \right\}_{i=1}^{\infty }$ оператора $A$.

2-ой вопрос.
Что это за пространство гильбертово пространство $H$? Она реально? существует? Напомним, что квантовая система задается вектором состояния – в чистом или смешанном. Физики утверждают, квантовая система реально не существует.
Например, Peres A. “Quantum theory, concepts and methods” (Kluwer, 2002) пишет такое:
“A quantum system is a useful abstraction, which frequently appears in the literature, but does not really exist in nature. In general, a quantum system is defined by an equivalence class of preparations. (Recall that “preparations” and “tests” are the primitive notions of quantum theory. Their meaning is the set of instructions to be followed by an experimenter.)”
Классик N. Bohr утверждает даже больше
There is no quantum world. There is only an abstract physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about Nature”

На самом деле физик квантовый мир своими приборами, которые позволяют ему изучать только такие признаки квантового мира (quantum world) $\left\langle A\psi ,\psi \right\rangle $. Поясню это.
Пусть $H=\Omega $, и задано вероятностное пространство, где $\mathcal{F}$ - может быть борелевская $\sigma $-алгебра. Тогда элементарные $\omega \in \Omega $ события – это волновые функции. Любая случайная величина, заданная на $\left( H,\mathcal{F},\mathbb{P} \right)$ дает признак наблюдаемого объекта $\psi =\omega \in \Omega =H$ квантового мира – элементарного события (волновой функции). Но у физика нет возможности строить приборы, соответствующие любой случайной величине. В его распоряжении только такие случайные величины $\xi \left( \psi \right)=\left\langle A\psi ,\psi \right\rangle $.
Поэтому реально квантовый мир (quantum world) существует, ибо именно его объекты (волновые функции) изучает физик. Эти объекты размазаны в квантовом мире с какой-то вероятностной мерой, сосредоточенной на единичной сфере комплексного гильбертово пространство.

Просьба к модерам не переносить эту ветку в раздел физики, ибо физикам и так все понятно, они верят в ортодоксальную копенгагенскую интерпретацию квантовой механики и точка.
Весь мир штурмует создание квантовых компов, уже пишут для них компьютерные программы. Поэтому важно понять что есть вероятность в квантовой механики. Пишется масса математических статей, связанных с КМ.

PS.
Поясню, что означает привести объект в состояние, в котором его можно изучать (осуществить коллапс волновой функции). Например, мы изучаем такой объект как заяц. Тогда мы должны бегать за ним по лесу и наблюдать его, что естественно невозможно. Поэтому исследователь приводит зайца в состояние, в которым он его может изучать – убивает или ловит в клетку

[hurtsy]

(Оффтоп)

Я попробовал получить перевод dubitantum в Лингва 12
Точно такого слова не нашел.
Хотя мне тоже кажется, что все следует подвергать сомнению.

Мне нравится направленность Вашего топика на основания сущего(Имхо). У меня даже появилась надежда, что Вы свяжете основания сущего с основаниями математики. К удаче топика можно отнести, что он остался в математике. Спасибо модераторам.
"Уважаемый публикум" похоже игнорирует КМ, предпочтение отдается формальным языкам и конструктивизму. Продолжайте пожалуйста развитие топика. С уважением,

[STilda]

Если система Х наблюдается в различных состояниях $\psi_1$ и $\psi_2$ то она может находится и в состоянии $c_1\psi_1+c_2\psi_2$ (принцип суперпозиции). Тогда под чистыми состояниями наверное понимается базис пространства всех возможных состояний. Это как предположение.

-- Ср июл 28, 2010 23:20:56 --

По поводу второго вопроса. Физик ставит эксперименты и наблюдает результаты. Для наблюдаемых свойств он ищет математическую модель. Волновая функция, комплексные числа, наблюдаемые величины в виде собственных чисел операторов, частицы-операторы - это те математические объекты которые по свойствам способны отразить наблюдаемое. Задача математики - предоставить объекты, которыми удобно описывать наблюдаемое.

[Scholium]

grisania писал(а):

Как появляются самые загадочные вероятности КМ с которыми не согласились даже такие великие физики, как например, Эйнштейн, сказавший, что Бог не играет в кости (Does God play dice).

Они фактически постулируются в КМ. Процесс реализации вероятного состояния квантовой частицы обычно связывают с измерением, которое, однако, создает новое состояние с другой вероятностью. Более четко, в КМ не существует понятия траектории частицы, что составляет содержание принципа неопределенности Гейзенберга (Ландау и Лифшиц. Теорфизика, т.3, М.74, с.14 – далее Ландафшиц-3). Раз нет траектории, значит, нет и динамических характеристик, например, мгновенной скорости как измеримой функции. Таким образом, если квантовая частица в определенный момент времени находилась в определенной точке пространства, то в следующий бесконечно малый момент времени она будет иметь неопределенные координаты в соответствии с некоторой плотностью распределения вероятностей (ПРВ), получаемой из УрШ (уравнения Шредингера). Так что «пощупать» вероятность реализации, скажем электрона, в определенной точке пространства очень легко, достаточно решить УрШ с подходящими краевыми условиями.

grisania писал(а):

Любому студенту-физику преподают, что квантовые вероятности возникают в результат квантового измерения, во время которого происходит коллапс волновой функции

При измерении фиксируется реализация случайной величины, причем сама эта случайная величина изменяется необратимым образом. Старая волновая функция при этом остаются прежней, просто измерение создает новую волновую функцию.

grisania писал(а):

В квантовой механике утверждается, что квантовая система может находится
1) в чистом состоянии – её состояние задается волновой функцией $\psi \in H,\ \left\| \psi \right\|=1$, где $H$ -бесконечномерное комплексное гильбертово пространство.
2) в смешанном состоянии – это означает, что её стояния размазаны по гильбертову пространству $H$ с какой-то мерой, обычно физики говорят, что эта мера дискретна.

У Ландафшиц-3 , с. 59, чистым называется состояние, обладающие волновой функцией, а смешанным – состояние, обладающее только матрицей плотности. Другими словами для чистого состояния всегда существует полная система измерительных процессов, которые приводят с достоверностью к определенным результатам, а для смешанных состояний такой полной системы измерительных процессов не существует.

grisania писал(а):

Причем здесь чистое состояние квантовой системы и суперпозиция.

Принцип суперпозиции этот основной положительный принцип КМ (Ландафшиц-3 , с. 21). Вот цитата:

Принцип суперпозиции: писал(а):

Пусть в состоянии с волновой функцией $\Psi_1(q)$ некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату 1, а в состоянии $\Psi_2(q)$ - к результату 2. Тогда принимается, что всякая линейная комбинация $\Psi_1$ и $\Psi_2$, т.е. всякая функция вида $c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ ($c_1$ и $c_2$ - постоянные), описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. . .

Из этого принципа, кстати, следует линейность УрШ относительно волновой функции.

При таком определении принцип суперпозиции не имеет никакого противоречия с чистым состоянием.

grisania писал(а):

Что это за пространство гильбертово пространство ? Она реально? существует?

Это пространство, включающее все возможные состояния волновых функций. Само оно также реально, как, скажем, пространство бесконечно дифференцируемых функций. Другое дело, если Вы спросите, а в чем состоит физический смысл самой волновой функции? Пожалуй, этого не знает никто. Я бы, например, предложил интерпретацию, что это колебания трехмерного пространства в пятимерном пространственном континууме. Лишние два измерения, в некотором смысле виртуальны, т.е. недоступны для нас, потому и комплексны. Впрочем, я могу ошибаться .

[age]

grisania
Не совсем понятно, что вам непонятно. Что есть вероятности? На этот вопрос отвечает копенгагенская модель, о чем вы написали. Как именно происходит процесс измерения? Это никому не понятно, на это и существует копенгагенская модель как вариант объяснения. Но ее принимают не все.

-- Ср авг 04, 2010 20:27:56 --

grisania в сообщении #340940 писал(а):

Как появляются самые загадочные вероятности КМ с которыми не согласились даже такие великие физики, как например, Эйнштейн, сказавший, что Бог не играет в кости (Does God play dice).

Совершенно верно как написано выше: отличие квантовой частицы от неквантовой в том, что о ней нельзя сказать ни где она находится, ни какой скоростью/импульсом обладает. Это проявляется (фиксируется) лишь после проведения измерения. Причем, вероятности каждого результата измерения распределены по некоторому закону. Например, если измерить одну и ту же частицу в абсолютно одних и тех же условиях, то мы получим совершенно разные результаты измерений, как будто частица - это вовсе не частица, а лишь "схлапывается" в частицу - но именно в конкретную частицу - когда ее пытаются изучить/измерить/"потрогать" прибором. И у каждого полученного в результате акта измерения результата - своя вероятность, которая и задается волновой функцией.