Любителям рядов Тэйлора

[arqady]

Пусть $a$ и $b$ положительны и такие, что $a+b=2.$ Докажите, что:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{96}\leq a^{b+1}+b^{a+1}\leq2+\frac{ab(a-b)^4}{48}$$

Эта задача принадлежит V.Cirtoaje.

[neo66]

Можно его усилить:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{83}\leq a^{b+1}+b^{a+1}\leq2+\frac{ab(a-b)^4}{48}$$

Точнее, до:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{\frac {16} {\ln2-\frac 1 2}}\leq a^{b+1}+b^{a+1}\leq2+\frac{ab(a-b)^4}{48}$$

[arqady]

neo66 в сообщении #340465 писал(а):

Точнее, до:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{\frac {16} {\ln2-\frac 1 2}}\leq a^{b+1}+b^{a+1}$$

Я вижу только, что если Ваша оценка верна, то она точная.

[neo66]

С другой стороны она тоже точная.

[DiviSer]

neo66 в сообщении #340465 писал(а):

Можно его усилить:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{83}\leq a^{b+1}+b^{a+1}\leq2+\frac{ab(a-b)^4}{48}$$

Точнее, до:

$$2+\frac{ab(a-b)^4}{\frac {16} {\ln2-\frac 1 2}}\leq a^{b+1}+b^{a+1}\leq2+\frac{ab(a-b)^4}{48}$$

Можно спросить, причем тут логарифм двух?

[gris]

Интересно выглядят первые десятичные знаки знаменателя с логарифмом:

82,82838338...

[arqady]

DiviSer в сообщении #340568 писал(а):

Можно спросить, причем тут логарифм двух?

У меня получилось, что если $2+\frac{ab(a-b)^4}{k}\leq a^{b+1}+b^{a+1}$ верно ($k>0$), то $\frac{16}{k}\leq\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}=\ln2-0.5$
Кстати, судя по neo66-ской записи $\frac {16} {\ln2-\frac 1 2}$, а не $\frac {32} {2\ln2-1}$, он, видимо, рассуждал похоже.
Разница только в том, что я пока не вижу доказательство его неравенства.

[DiviSer]

arqady в сообщении #340571 писал(а):

DiviSer в сообщении #340568 писал(а):

Можно спросить, причем тут логарифм двух?

У меня получилось, что если $2+\frac{ab(a-b)^4}{k}\leq a^{b+1}+b^{a+1}$ верно ($k>0$), то $\frac{16}{k}\leq\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}=\ln2-0.5$
Кстати, судя по neo66-ской записи $\frac {16} {\ln2-\frac 1 2}$, а не $\frac {32} {2\ln2-1}$, он, видимо, рассуждал похоже.
Разница только в том, что я пока не вижу доказательство его неравенства.

Просто ме кажется, что если при таком коэффициенте достигается оптимальное неравенство, то должно быть сущ-ть значеия неизвестынх при котором будет равенство. но так как левая часть будет содержать лограифм двух (трансценд. число) то такое врядли возможно.

[arqady]

Да там полно равенств!