Вариации ряда 1/n^2

[Genrih]

Пусть множество $\mathbb{N}$ записано некоторым образом как последовательность $\alpha=\left\{a_1,a_2,...,a_n,...\right\}$.
Пусть $g(\alpha)=\lim\limits_{n\to\infty}\left ( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{2a_2}+...+\frac{1}{na_n}\right)$.
Доказать , что $\inf \limits_{\alpha}g(\alpha)=0$ и $\max \limits_{\alpha}g(\alpha)=g(i)$, где $i=\left\{1,2,...,n,...\right\}$.

[maxal]

Легко следует из http://en.wikipedia.org/wiki/Rearrangement_inequality

[C0rWin]

Вопрос не в тему. А как доказать это неравенство?

[Руст]

А тут и доказывать ничего. Оно махимизируется, если махимальные члены будут иметь максимальные коэффициенты и наооборот. Можно смотреть на это как на скалярное произведение с бесконечным числом элементов $(x,y), \ x=\{\frac{1}{a_n}\} \ y=\{\frac{1}{n}\}$, что сразу доказывает максимальность естественного порядка. Для минимальности, можно смотреть упорядочение наооборот из N элементов, а дальше естественный. В этом случае скалярное произведение равно

$$\frac{2H_N}{N+1}+\sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{1}{k^2} =O(\frac{\ln{N}+O(1)}{N})\to 0.$$

[Genrih]

Спасибо за неравенство.
Другой вариант -- использовать упрощенный вариант - неравенство Чебышева справа налево для $a_n=b_n=\frac {1}{n}$.
Не так тривиально, как с перегруппировочным неравенством, но тоже представляет решение.

[maxal]

Genrih писал(а):

Спасибо за неравенство.
Другой вариант -- использовать упрощенный вариант - неравенство Чебышева справа налево для $a_n=b_n=\frac {1}{n}$.
Не так тривиально, как с перегруппировочным неравенством, но тоже представляет решение.

Неравенство Чебышева для сумм само есть следствие перегруппировочного неравенства (кстати, другое название: неравенство об одномонотонных последовательностях) - см. http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev% ... inequality

[maxal]

Статья из свежего Мат.Просвещения: Л. В. Радзивиловский "Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство".