Равномощность отрезка и интервала

[burgos]

Необходимо доказать равномощность X=[-2;0] и Y=(1;5).
Если бы речь шла об отрезках, то можно было бы установить биекцию с помощью линейной функции. Но как быть, если Y - интервал?

[ShMaxG]

Ну установите биекцию между [-2;0] и [1;5]. А интервал от отрезка отличается на конечное число точек. Значит - ....

[AD]

А давайте уберём из задачи все лишние сущности и докажем для начала, что $[0,1)\sim(0,1)$.
Если это Вы уже умеете, то можно выкусить серединку из обоих Ваших промежутков и свести задачу к двум моим.

[burgos]

Между [-2;0] и [1;5] - с помощью функции F(x)=2x+5. В интервале точки 1 и 5 исключены...Как отобразить отрезок на интервал сообразить не могу.

[Maslov]

Посмотрите вот в этой теме: post303735.html#p303735

[ShMaxG]

Задача не в том, чтобы построить биекцию (это думать надо). А чтобы доказать равномощность, что достаточно просто. Путь отметил. (Правда, если теорему Кантора иметь ввиду...)

[burgos]

ShMaxG
Кажется я понял, что вы имеете ввиду. Мощность бесконечного множества не меняется при исключении конечного количества элементов.

Цитата:

Правда, если теорему Кантора иметь ввиду...

А что если ее иметь ввиду?

[ShMaxG]

burgos в сообщении #339793 писал(а):

ShMaxG
Кажется я понял, что вы имеете ввиду. Мощность бесконечного множества не меняется при исключении конечного количества элементов.

Вооооот. Замечательно.


Пардон, теорема Кантора даже не нужна здесь. Ведь достаточно просто бесконечности точек в отрезке.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #339796 писал(а):

Но чтобы этим воспользоваться, необходимо знать теорему Кантора о несчетности отрезка.

Не надо. Хуже того: мощность не меняется при выкидывании счётного подмножества. И к несчётности отрезка -- это решительно никакого отношения не имеет.

[Maslov]

ewert в сообщении #339797 писал(а):

Хуже того: мощность не меняется при выкидывании счётного подмножества. И к несчётности отрезка -- это решительно никакого отношения не имеет.

А почему не имеет?
Если из счётного множества выкинуть счётное же подмножество, вполне может остаться конечное.

[ewert]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #339798 писал(а):

Если из счётного множества выкинуть счётное же подмножество, вполне может остаться конечное.

может, конечно. Пафос в другом: выкидывание конечного подмножества (в данном случае) -- ничем не отличается от выкидывания счётного. Хотя это, конечно, оффтопик, за что и звиняюсь.

[Maslov]

burgos в сообщении #339793 писал(а):

Мощность бесконечного множества не меняется при исключении конечного количества элементов.

Весь вопрос в том, считается ли этот факт известным. Если да, то задача, конечно, тривиальна. Ну а если нет -- придётся всё-таки подумать.

[burgos]

Цитата:

Задача не в том, чтобы построить биекцию (это думать надо).

Все-таки хотелось бы построить.

Цитата:

А давайте уберём из задачи все лишние сущности и докажем для начала, что $[0,1)\sim(0,1)$.
Если это Вы уже умеете, то можно выкусить серединку из обоих Ваших промежутков и свести задачу к двум моим.

$\[0 \leftrightarrow \frac{1}{2}\]$
$\[\frac{n}{{n + 1}} \leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]$
Все остальные точки отображаются на самих себя.

Цитата:

можно выкусить серединку из обоих Ваших промежутков и свести задачу к двум моим

Намекните, как это сделать

Maslov, спасибо за предложенную тему, прочитал все 15 страниц, кое-что прояснилось.

[terminator-II]

AD в сообщении #339785 писал(а):

А давайте уберём из задачи все лишние сущности и докажем для начала, что $[0,1)\sim(0,1)$.
Если это Вы уже умеете, то можно выкусить серединку из обоих Ваших промежутков и свести задачу к двум моим.

во-во , а то беседа стала приобретать какой-то странный характер

устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между рациональными точками $[0,1)$ и рациональными точками $(0,1)$. Иррациональные точки отображаем тождественно.

А как насчет биекции между прямой и плоскостью?

[rush]

[-2;0] ~ [-1; 1]

[-1; 1] ~ [-1; 0] U [0; 1]

[-1; 0] ~ [-1; -inf)
[0; 1] ~ (+inf; 1]

[-2;0] ~ [-1; 1] ~ [-1; 0] U [0; 1] ~ [-1; -inf) U (+inf; 1] ~ (-inf; +inf) ~ (1; 5)