Расходимость гармонического ряда.

[Shtirlic]

terminator-II
В обычных общеобразоватеьных школах сейчас очень редко проходят метод мат. индукции!

[Steelworker]

Shtirlic в сообщении #339668 писал(а):

А, так тут мы имеем дело не с бесконечными последовательностями, все тут счетно. Пронумеровать соответствено с натуральными числами очень легко. Перед каждым номером (из задачи) ставим единицу. А дальше номеруем все в порядке возрастания полученных чисел (считаем их как-бы натуральными). До сколь угодно большой последовательности (номер) можно дойти, но как элемент этот номер не является бесконечным.

Как упорядочить все элементы понятно, и в этом смысле множество счетное. А вот почему оно не континуум никак не укладывается. Противоречия в моих словах нет, я понимаю, что, как и в случае с рядами, события "сходимость-расходимость" и "счетное-несчетное" независимые, но в зависимости от того, что доказывают первым, получаются разные результаты.

Shtirlic в сообщении #339668 писал(а):

А множества всех множеств натуральных чисел тут и близко нет! Как я понимаю - это множество всех возможных сочетаний элементов множества натуральных чисел, размерностей от одного до бесконечности.

А в чем отличие множества всех возможных сочетаний от множества всех подмножеств? Вы можете привести пример подмножества натуральных чисел, не соответствующего ни одному из чисел при такой (01011..) нумерации?

Тут упоминали, что любая точка есть результат конечного числа делений, поэтому последовательности конечны, но что тогда мешает то же самое сказать про числа натурального ряда, и прийти к выводу, что конечно множество натуральных чисел?

[gris]

Континуум (в одном из смыслов) это множество, равномощное множеству действительных чисел. Счётное множество не может быть континуумом потому, что оно тогда было бы несчётным. А множество не может быть счётным и несчётным одновременно.

Сходимость может быть связана и с несчётными объектами, например - сходимость несобственного интеграла.

Множество всех подмножеств множества натуральных чисел имеет мощность континуума, а вот множество всех конечных подмножеств множества натуральных чисел - счётно.

Каждое натуральное число конечно как постоянная функция на множестве натуральных чисел.

[venco]

Steelworker в сообщении #339693 писал(а):

А в чем отличие множества всех возможных сочетаний от множества всех подмножеств?

Что такое множество всех возможных сочетаний?

Steelworker в сообщении #339693 писал(а):

Вы можете привести пример подмножества натуральных чисел, не соответствующего ни одному из чисел при такой (01011..) нумерации?

Множество всех чётных чисел. Ему соответствует бесконечная последовательность делений: (01010101...), а также точка $\frac13$ исходного отрезка. И эта точка никогда не встретится в последовательности точек деления.

Steelworker в сообщении #339693 писал(а):

Тут упоминали, что любая точка есть результат конечного числа делений, поэтому последовательности конечны, но что тогда мешает то же самое сказать про числа натурального ряда, и прийти к выводу, что конечно множество натуральных чисел?

Не путайте конечность множества и конечность элементов. Оба множества бесконечны и счётны. Если же говорить об элементах, то и в Вашем множестве точек элементы - последовательности делений - конечны, и в множестве натуральных чисел элементы - сами числа - конечны. Хотя, конечно, конечность элементов совершенно никак не связана с конечностью множеств.

[Someone]

Shtirlic в сообщении #339657 писал(а):

Someone
Сам плохо разбираюсь в счетных, несчетных множествах, но видел доказательство, что бесконечная последовательность нулей и единиц есть несчетное множество!

Вы не могли видеть такое доказательство, разве что какой-нибудь из упёртых и безграмотных "опровергателей" его сочинил. Но на таких не следует обращать внимания.
Последовательность, если её интерпретировать как множество (а теория множеств всё интерпретирует как множество), является счётным множеством. Множество значений последовательности может быть счётным или конечным.

-- Вс июл 18, 2010 00:31:21 --

Steelworker в сообщении #339693 писал(а):

А вот почему оно не континуум никак не укладывается. Противоречия в моих словах нет, я понимаю, что, как и в случае с рядами, события "сходимость-расходимость" и "счетное-несчетное" независимые, но в зависимости от того, что доказывают первым, получаются разные результаты.

Околесицу какую-то придумали. Что значит - разные? Я вообще перестал понимать, о чём Вы говорите.

Steelworker в сообщении #339693 писал(а):

Тут упоминали, что любая точка есть результат конечного числа делений, поэтому последовательности конечны, но что тогда мешает то же самое сказать про числа натурального ряда, и прийти к выводу, что конечно множество натуральных чисел?

Какая "любая точка"?

(Оффтоп)

Кстати, за злокачественную безграмотность у нас тоже блокируют. Несколько таких случаев уже было, и уж Вы постарайтесь не оказаться следующим.

[Shtirlic]

Someone
Все нормально с тем доказательством, видать я не совсем ясно выразился. Речь идет о множестве бесконечных последовательностей нулей и единиц (то есть элемент: 10100010011... - и так далее до бесконечности), доказательство как и у несчетности множества действительных чисел.

Цитата:

А в чем отличие множества всех возможных сочетаний от множества всех подмножеств? Вы можете привести пример подмножества натуральных чисел, не соответствующего ни одному из чисел при такой (01011..) нумерации?

Я и имел ввиду что это одно и тоже, и в вашей задаче рассматривается лишь подпоследовательность натуральных чисел (наверно не совсем так, но если перед каждым числом подписать 1, то будет так! )