Геометрия пространства неевклидова?

[В. Войтик]

А может быть всё-таки есть и третий выход из этого положения?
Экспериментальное определение неевклидовости геометрии предполагает сдвиг наблюдателя. А мы считаем, что он находится в начале отсчёта и никуда не путешествует...
Если определить физическое расстояние как интервал взятый по гиперповерхности времени наблюдателя, то это определение будет инвариантно относительно сдвига. Тогда пространство будет везде евклидово. Это как бы "координатная" евклидовость. Но эта "евклидовость" же не означает, что расстояние между удалёнными от наблюдателя точками пространства не будет изменяться, если наблюдатель перейдёт в одну из этих точек. То есть будет фактическая неевклидовость. Не знаю понятно ли объяснил...

[В. Войтик]

В. Войтик в сообщении #327944 писал(а):

В. Войтик в сообщении #327878 писал(а):

....Однако насколько я могу судить эта форминвариантность не получается. ...

Да, точно. Метрика (1) не переходит при сдвиге в метрику (2). Это видно из того, что при подстановке преобразования сдвига в метрику (1) в ответе получится член порядка $y^4dy^2$ для малых $\Omega$. Тогда как в метрике (2) такого члена не будет.

Сегодня всё пересчитал заново. Уравнения получились довольно громоздкие - надо было аккуратно выписать 40 членов. К моему сожалению я ошибался. И в том и в другом случае ответы совпадают. Метрика (1) перешла в метрику (2) . Как ни странно, получается, что метрика пространства
$\gamma_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}+\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}$
не противоречит принципу общей форминвариантности.
Даа... Уравнения преобразования сдвига знают больше чем я .

[В. Войтик]

В общем-то так и должно было быть.
Отсюда следует решение парадокса Эренфеста. Вычисление периметра фигуры рассматриваемой из центра вращения как окружность радиуса $R$, с центром на оси вращения и рассматриваемой как эллипс из периферии вращения должно быть одинаковым. То есть
$L=\oint\limits_{X^2+Y^2=R^2}\sqrt{dX^2+dY^2+\frac{\Omega^2(XdY-YdX)^2}{1-\Omega^2(X^2+Y^2)}}=\oint\limits_{(b+x)^2+\frac{y^2}{1-V^2}=R^2}\sqrt{dx^2+dy^2+\frac{\Omega^2(xdy-ydx)^2}{(1-V^2-V\Omega x)^2-\Omega^2(x^2+y^2)}}$
Вычисление этого интеграла даёт
$L=\frac{2\pi R}{\sqrt{1-V^2}}$,
где
$V=\Omega b$

[Victor Orlov]

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

.....
Итак под произвольной системой отсчёта в эйлеровском смысле мы понимаем идеально твёрдое точечное тело отсчета, с которым жёстко связана некоторая триада ортонормированных единичных векторов и на котором находится наблюдатель. При этом подразумевается, что эта триада не вращается относительно наблюдателя.
....

Насколько я понимаю, лишены смысла слова
... "идеально твёрдое точечное тело отсчета, с которым жёстко связана некоторая триада ортонормированных единичных векторов и на котором находится наблюдатель. При этом подразумевается, что эта триада не вращается относительно наблюдателя.".
Потому что для точечного тела нет разницы между состояниями "точечное тело вращается" и состоянием "точечное тело не вращается". Поэтому НЕВОЗМОЖНО жестко связать с точечным телом "некоторую триаду ортонормированных единичных векторов".
То есть тело отсчета НИКОГДА не может быть точечным, но должно обладать некоторой протяженностью в пространстве, чтобы с этим телом можно было связать триаду векторов, и знать, что эта триада не вращается в пространстве.

[В. Войтик]

Victor Orlov в сообщении #339664 писал(а):

Потому что для точечного тела нет разницы между состояниями "точечное тело вращается" и состоянием "точечное тело не вращается". Поэтому НЕВОЗМОЖНО жестко связать с точечным телом "некоторую триаду ортонормированных единичных векторов".

ПМСМ Вы неправы. Например даже в классической электродинамике вполне можно пользоваться понятием диполя - точечной частицы имеющей дипольный момент.
Ещё один пример. По современым представлениям некоторые элементарные частицы - точечные и имеют спин: т.е. выделенное направление в пространстве.

Цитата:

То есть тело отсчета НИКОГДА не может быть точечным, но должно обладать некоторой протяженностью в пространстве, чтобы с этим телом можно было связать триаду векторов, и знать, что эта триада не вращается в пространстве.

Рассматривайте понятие эйлеровской системы отсчёта как некоторую идеализацию, когда размеры тела отсчёта стремятся к нулю.

[MOPO3OB]

В. Войтик в сообщении #327631 писал(а):

peregoudov в сообщении #327628

писал(а):
Но я сталкиваюсь с тем, что есть весьма непустое множество людей, которым про многообразие рассказать забыли :cry: и которые считают систему отсчета чем-то вроде физической реальности :shock: Доходя до того, что в одной системе отсчета пространство-время может быть плоским, а в другой --- искривленным. То же самое пространство-время.

Я не в курсе что значит "тоже самое пространство"....
поскольку геометрия пространство задается метрикой.... (правда можно преобразовать координаты не меняя геометрию, см. школьный курс)

Но метрика вращающейся системы неевклидова.
... забытый Вами Эйнштейн несколько раз приводил эту систему как пример неэвклидовой, а Меллер показал, что кривизна в этой системы отрицательна.
Но можно, не напрягаясь, посчитать, например, скалярную кривизну.
А можно просто посмотреть ответ.
http://forum.lebedev.ru/download/file.php?id=1414

Цитата:

То есть тело отсчета НИКОГДА не может быть точечным

Вы знали?