Расходимость гармонического ряда.

[Steelworker]

Начал читать тексты про множества, и быстро зашел в тупик.
Доказательство расходимости гармонического ряда из википедии:

Далее пишут, что последний ряд расходится, значит и исходный расходится.
Но чтобы расходился последний необходимо бесконечно много его элементов, пусть их будет $N$. А значит элементов исходного ряда нужно $2^{N-1}$, что мощнее счетного множества, т.е. для расходимости гармонического ряда не хватает натуральных чисел.

Второй похожий пример: отрезок [0,1] делится точкой на две равные части, каждая часть опять делится точкой на две равные, и.т.д. По теории получится несчетное множество точек, и в то же время я могу поставить в соответствие числу 1 первую точку, числам 2 и 3 - две точки после второго деления, числам 4,5,6 и 7 - четыре точки после третьего деления, и.т.д.

В общем, в голове каша. Если лениво отвечать, где подвох, напишите, пожалуйста, книжку, которая ответила бы на подобные вопросы 'на пальцах'.

[venco]

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

Но чтобы расходился последний необходимо бесконечно много его элементов, пусть их будет $N$.

Это как? Что здесь обозначает символ $N$? Явно не число, иначе ряд оказался бы конечным.

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

А значит элементов исходного ряда нужно $2^{N-1}$, что мощнее счетного множества, т.е. для расходимости гармонического ряда не хватает натуральных чисел.

Т.к. $N$ не число, то что обозначает $2^{N-1}$?

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

Второй похожий пример: отрезок [0,1] делится точкой на две равные части, каждая часть опять делится точкой на две равные, и.т.д. По теории получится несчетное множество точек

Почему несчётное? Вы ведь их посчитали.

[Steelworker]

venco в сообщении #339584 писал(а):

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

Но чтобы расходился последний необходимо бесконечно много его элементов, пусть их будет $N$.

Это как? Что здесь обозначает символ $N$? Явно не число, иначе ряд оказался бы конечным.

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

А значит элементов исходного ряда нужно $2^{N-1}$, что мощнее счетного множества, т.е. для расходимости гармонического ряда не хватает натуральных чисел.

Т.к. $N$ не число, то что обозначает $2^{N-1}$?

Да, $N$ не число, но если бы оно было числом, обозначающим количество членов последнего ряда, то ему соответствовало бы $2^{N-1}$ членов исходного ряда. Мне страшно было возводить двойку в степень алеф-нуль, а N - нормально.

venco в [url=http://dxdy.ru/post339584.html#p339584]

[quote="venco в сообщении #339584 писал(а):

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

Второй похожий пример: отрезок [0,1] делится точкой на две равные части, каждая часть опять делится точкой на две равные, и.т.д. По теории получится несчетное множество точек

Почему несчётное? Вы ведь их посчитали.

Первую точку пропускаем. Теперь, если вторая слева, для неё пишем 0, иначе 1. Для каждой точки из следующей итерации деления ставим соответственно 0 или 1 в зависимости от того, слева или справа находится ближайшая точка из предыдущей итерации. В результате каждой точке будут соответствовать все возможные последовательности из нулей и единиц, осталось заменить эти последовательности на подмножества множества натуральных чисел - если на k-ом месте стоит 1, то число k включается в множество, если 0 - то не включается. А множество всех подмножеств натуральных чисел несчетно.

[venco]

Steelworker в сообщении #339586 писал(а):

В результате каждой точке будут соответствовать все возможные последовательности из нулей и единиц

Все возможные конечные последовательности.

Steelworker в сообщении #339586 писал(а):

А множество всех подмножеств натуральных чисел несчетно.

Множество всех конечных подмножеств множества натуральных чисел - счётно.

[Sasha2]

Не думаю, что Вы можете получить более простое объяснение, нежеди чем факто, что для любого натурального n
$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$, в частности это также справедливо, когда Вы берете разбиение, которое, как Вы сказали взято из википедии.
Если хотите, то считайте, что сумма этого ряда представима в виде (в предположении, что он сходится) как $S_n=A+\alpha_n$, но $\alpha_n$ (в силу указанного факта всегда может быть сделана больше 1/2). Может ли такая последовательность сходится? Сами подумайте. Ну, а коли она расходится, то в силу строго монотонности, что следует?

[Steelworker]

venco в сообщении #339587 писал(а):

Steelworker в сообщении #339586 писал(а):

В результате каждой точке будут соответствовать все возможные последовательности из нулей и единиц

Все возможные конечные последовательности.

Поясните, пожалуйста, этот момент. Ведь процесс деления отрезка бесконечен, почему при этом не будут образовываться все бесконечные последовательности?

UPD: похоже, я сделал описку. Не каждой точке, а всем точкам.

[venco]

Steelworker в сообщении #339589 писал(а):

Поясните, пожалуйста, этот момент. Ведь процесс деления отрезка бесконечен, почему при этом не будут образовываться все бесконечные последовательности?

Потому что любая точка была получена конечным числом делений. Если подойти с другой стороны, то бесконечные последовательности делений не соответствуют ни одной точке Вашего множества.
А вот если добавить и точки-пределы, к которым сходятся бесконечные последовательности делений, то получится уже несчётное множество действительных чисел на отрезке.

[Someone]

Steelworker в сообщении #339581 писал(а):

Но чтобы расходился последний необходимо бесконечно много его элементов, пусть их будет $N$. А значит элементов исходного ряда нужно $2^{N-1}$, что мощнее счетного множества

Последний момент поподробнее, пожалуйста. Откуда взялось несчётное множество? Все члены гармонического ряда явно перенумерованы натуральными числами, поэтому множество членов этого ряда счётно.
А Вы вообще встречали ряды с несчётным числом членов? Что такое вообще ряд?

Steelworker в сообщении #339586 писал(а):

Да, $N$ не число, но если бы оно было числом, обозначающим количество членов последнего ряда, то ему соответствовало бы $2^{N-1}$ членов исходного ряда. Мне страшно было возводить двойку в степень алеф-нуль, а N - нормально.

Поскольку у Вас $N$ - не число, то запись $2^{N-1}$ вообще смысла не имеет.
Что касается $2^{\aleph_0}$, то эта запись вполне осмысленна (это мощность множества всех подмножеств счётного множества), но непонятно, какое отношение она может иметь к обсуждаемому вопросу. У нас тут нигде не встречается множество всех подмножеств чего-либо.

Steelworker в сообщении #339586 писал(а):

Первую точку пропускаем. Теперь, если вторая слева, для неё пишем 0, иначе 1. Для каждой точки из следующей итерации деления ставим соответственно 0 или 1 в зависимости от того, слева или справа находится ближайшая точка из предыдущей итерации. В результате каждой точке будут соответствовать все возможные последовательности из нулей и единиц, осталось заменить эти последовательности на подмножества множества натуральных чисел - если на k-ом месте стоит 1, то число k включается в множество, если 0 - то не включается. А множество всех подмножеств натуральных чисел несчетно.

Steelworker в сообщении #339589 писал(а):

UPD: похоже, я сделал описку. Не каждой точке, а всем точкам.

Каким "всем" точкам?

(Оффтоп)

Что-то мне это сильно напоминает... Вроде бы кого-то слишком упёртого даже блокировали за подобные "рассуждения. Или мне показалось?

[Steelworker]

Someone в сообщении #339596 писал(а):

Последний момент поподробнее, пожалуйста. Откуда взялось несчётное множество? Все члены гармонического ряда явно перенумерованы натуральными числами, поэтому множество членов этого ряда счётно.
А Вы вообще встречали ряды с несчётным числом членов? Что такое вообще ряд?

Предположу, что ряд - это однозначная функция, описанная на множестве натуральных чисел. Ряды с несчетным числом членов я, естественно, не встречал. Тема была открыта для попытки с Вашей помощью примирить почерпнутые сведения из основ теории множеств с моим интуитивным их пониманием. То, что гармонический ряд не сходится, мне понятно. Но то, что он расходится выглядит уже шаманством по описанным выше причинам. А именно при переходе от рассмотрения мощности множества членов ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}$ к необходимой для построения этого ряда мощности множества членов гармонического ряда.

Someone в сообщении #339596 писал(а):

Поскольку у Вас $N$ - не число, то запись $2^{N-1}$ вообще смысла не имеет.
Что касается $2^{\aleph_0}$, то эта запись вполне осмысленна (это мощность множества всех подмножеств счётного множества), но непонятно, какое отношение она может иметь к обсуждаемому вопросу. У нас тут нигде не встречается множество всех подмножеств чего-либо.

Я правильно Вас понял, что $2^{\aleph_0}$ - только математическая абстракция, и к ней нельзя переходить при рассмотрении бесконечных множеств только лишь по аналогии с конечными множествами? т.е. за этими знаками обязательно должно стоять множество всех подмножеств?

Someone в сообщении #339596 писал(а):

Каким "всем" точкам?

Всем точкам, делящим очередные отрезки на пару равных.

Первую точку, делящую отрезок на [0, 0.5) и (0.5, 1] впоследствии поставим в соответствие пустому множеству, точка, делящая левый отрезок пополам нумеруется как 0, правая - как 1, следующие 4 точки как 00, 01, 10 и 11, и так далее, переходя потом к биекции с подмножествами натуральных чисел. Естественно, эта идея не моя - она была украдена из одной из популярных статей, если не ошибаюсь, при рассмотрении мощности канторова множества.
Слово "каждой" в контексте написанного было бы очевидно неверным.

Someone в сообщении #339596 писал(а):

(Оффтоп)

Что-то мне это сильно напоминает... Вроде бы кого-то слишком упёртого даже блокировали за подобные "рассуждения. Или мне показалось?

(Оффтоп)

На двойку на экзамене без права пересдачи согласен, а тут, прошу, учитывая раздел, где мы находимся, ограничиться предупреждением. Блокировали не меня.

[Shtirlic]

Steelworker

Цитата:

Первую точку, делящую отрезок на [0, 0.5) и (0.5, 1] впоследствии поставим в соответствие пустому множеству, точка, делящая левый отрезок пополам нумеруется как 0, правая - как 1, следующие 4 точки как 00, 01, 10 и 11, и так далее, переходя потом к биекции с подмножествами натуральных чисел. Естественно, эта идея не моя - она была украдена из одной из популярных статей, если не ошибаюсь, при рассмотрении мощности канторова множества.

А вы уверенны, что этот способ нумеровки верен? После очередного деления имеем две соседние точки $A,B$ со своими номерами. Дальше еще раз делем отрезки. Получаем точку $C$, которая между $A,B$. Нумеруем $C$, это можно сделать двумя способами, номер для $A$ и в конце 1, и номер для $B$ и в конце 0. То есть для $C$ имеем два номера. Рассуждая дальше, приходим к выводы, что устремляя количество деленей на бесконечность, мы устремим количество способов нумераций каждой новой точки на бесконечность.

-- Сб июл 17, 2010 14:53:23 --


Хотя возможно или я вас не так понял или вы метод нумеровки не так поняли. Я знаю следующий способ, смысл постепенного углубления. Работаем с интервалами. Делем отрезок на две части. 0 - левый отрезка, 1- правый отрезка. Теперь делим еще раз все отрезки попалам. Чтобы выбрать самый левый отрезок, вначале надо выбрать левый большой отрезок, а в этом отрезке тоже левый, получам 00. 10 - это 3-ий слева из четырех отрезков. Делем дальше все попалам и также нумеруем каждый отрезок. Получаем однозачную нумерацию всех интервалов при бесконечном делении. Каждому отрезку ставим в соответствие его центр. На основе такой нумерации строится линия Пеана (если я все хорошо помню). Способ номерации похож на предложенный вами, но пропадает неоднозначность нумерации.

-- Сб июл 17, 2010 15:04:34 --

Я не понял! В связи с тем, что мы выкинули центр изначального отрезка и его концы, соседние точки имеют разный ранг нумеровки. В итоге это одно и то же!
Но предложенный мной способ понятней!

[Steelworker]

Спасибо, Shtirlic, именно это я и имел ввиду, но у вас действительно получилось гораздо понятнее.

[Someone]

Steelworker в сообщении #339598 писал(а):

Предположу, что ряд - это однозначная функция, описанная на множестве натуральных чисел.

Нет. (Однозначная) функция, определённая на множестве натуральных чисел - это последовательность. А рядом называется формальная сумма всех членов последовательности. И этой формальной сумме надо ещё суметь придать смысл, поскольку в арифметике вычислить сумму всех членов бесконечной последовательности нельзя.

Steelworker в сообщении #339598 писал(а):

Тема была открыта для попытки с Вашей помощью примирить почерпнутые сведения из основ теории множеств с моим интуитивным их пониманием.

Теория множеств не имеет отношения к теории числовых рядов.

Steelworker в сообщении #339598 писал(а):

То, что гармонический ряд не сходится, мне понятно. Но то, что он расходится выглядит уже шаманством по описанным выше причинам.

Извините, но ряд, который не сходится, по определению называется расходящимся. Без всякого шаманства, просто по определению.

Steelworker в сообщении #339598 писал(а):

Всем точкам, делящим очередные отрезки на пару равных.

Примем уточнения, сделанные Shtirlicем.

Вы строите последовательно точки $\frac 12,\frac 14,\frac 34,\frac 18,\frac 38,\frac 58,\frac 78,\ldots$ и сопоставляете им конечные последовательности нулей и единиц $\varnothing,0,1,00,01,10,11,\ldots$. И те, и другие можно перенумеровать в порядке построения. Поэтому и тех, и других - счётное множество.

Steelworker в сообщении #339598 писал(а):

переходя потом к биекции с подмножествами натуральных чисел.

К какой "биекции"?

[Shtirlic]

Someone
Сам плохо разбираюсь в счетных, несчетных множествах, но видел доказательство, что бесконечная последовательность нулей и единиц есть несчетное множество!

[Shtirlic]

А, так тут мы имеем дело не с бесконечными последовательностями, все тут счетно. Пронумеровать соответствено с натуральными числами очень легко. Перед каждым номером (из задачи) ставим единицу. А дальше номеруем все в порядке возрастания полученных чисел (считаем их как-бы натуральными). До сколь угодно большой последовательности (номер) можно дойти, но как элемент этот номер не является бесконечным.

-- Вс июл 18, 2010 03:18:27 --

Steelworker
А множества всех множеств натуральных чисел тут и близко нет! Как я понимаю - это множество всех возможных сочетаний элементов множества натуральных чисел, размерностей от одного до бесконечности.

[terminator-II]

хорошая школьная задача на метод матиндукции. Доказать, что для любого $n\in \mathbb{N}$ существует $k$такое, что $\sum_{i=1}^k\frac{1}{i}>n$