Производная Фреше.

[Dan B-Yallay]

Пусть задана функция с непрерывной производной $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
Дано отображение
$ F: C[0,1] \rightarrow C[0,1] такое что для любой функции $ x(t) \in C[0,1]$

$ F(x) (t) = f(x(t))$

Как доказать существование производной Фреше и найти ее?

Заранее благодарю

[Руст]

Существует, если f дифференцируемая и равна $f'(x(t)).$

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Существует, если f дифференцируемая и равна $f'(x(t)).$

А разве производная Фреше не должна быть линейным оператором? (оператор, действующий по выписанной Вами формуле не всегда будет линейным).

[Руст]

Это линейный оператор, действующей на касательном векторе z(t) у точки x(t) по формуле $A(z(t))=f'(x(t))z(t)$, оператор с точностью до константы, зависящей от точки x(t) совпадает с единичным.

[Dan B-Yallay]

Я и думал что производная выглядит так, но мне нужно именно доказательство ее существования и обьяснение как получить/вывести эту производную

[Руст]

По определению производная по направлению вектора z(t) есть

$$\lim_{h\to 0}\frac{F(x(t)+hz(t))-F(x(t))}{h}. $$

[Dan B-Yallay]

По вектору - это производная Гато, если не ошибаюсь. А она существует даже у некоторых разрывных функций. Фреше сильнее, т.е. существование произв. Фреше влечет существование произв. Гато, но не наоборот.

[Руст]

$$A(z(t)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x(t)+hz(t))-F(x(t))}{h}. $$

Именно это определяет линейный оператор, в чём легко убедиться. Требуется только, чтобы этот линейный оператор был непрерывным, т.е. Для некоторого линейного оператора (совпадающего с А) ||F(x(t)+hz(t))-F(x(t))-Ahz(t)||=o(h), ||z(t)||<C.

[G^a]

Добречко!

По производным, есть статья:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%28%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%29

Можно даже дополнить по содержанию!

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Это линейный оператор, действующей на касательном векторе z(t) у точки x(t) по формуле $A(z(t))=f'(x(t))z(t)$, оператор с точностью до константы, зависящей от точки x(t) совпадает с единичным.

Опять я кое-чего не понял. Приведенная Вами формула показывает, что, если функция f'(x(t)) непостоянна, то в разных точках t функция z(t) умножается на разные числа, так при чем здесь единичный (с точностью до константы) оператор? - ведь тогда оператор должен иметь вид Сz(t).

[Руст]

Умножается не на число а на функцию, причеём любой вектор z(t) умножается на эту функцию (не зависит от z(t)), переменная есть вектор z(t).

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Умножается не на число а на функцию,...

Да, и именно поэтому, на мой взгляд, полученный оператор и не совпадает с единичным с точностью до какой-либо константы.

[Руст]

Константа здесь функция, оператор - умножение на постоянную функцию не поваричивая векторы. Однако, не все линейные операторы коммутируют с умножением на постоянную функцию, поэтому будем считать, что я неправильно выразился.