Произведение меньше суммы

[Kitozavr]

Как решить неравенство:
$ax<x+a$, где $a\geqslant0$ - известное число, $x\geqslant0$
То есть я знаю что $0\leqslant x\leqslant1$, только прийти к этому аналитически не могу.

[gris]

Это неверно.

Надо перенести $x$ в левую часть, вынести его за скобку, а потом проанализировать выражение $a-1$.

Решение задачи пока никому не удалось записать просто в виде интервала без всяких условий.

А вот как в ответе могли появиться нестрогие неравенства - ума не приложу.

[Батороев]

А так не пойдет?

При $0\leq x\leq 1$; $a\geq 0$

$ \dfrac {x+a}{ax}=\dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{x}>1$

[neo66]

Kitozavr в сообщении #339136 писал(а):

То есть я знаю что $0\leqslant x\leqslant1$, только прийти к этому аналитически не могу.

Не можете, потому, что это неверно.

[Батороев]

Понял, где нестрогое неравенство и непонятки...
При $x=a=0$.

[gris]

Батороев, опять Вы ёрничаете. $(0;0)$ не является решением неравенства.
Хотя нестрогое неравенство там действительно появляется при $a\geqslant 1$.
Однако, можно было бы изобразить на плоскости в координатах $(a;x)$ решение этого нетривиального неравенства, и все бы увидели его красоту.

[Kitozavr]

(Оффтоп)

gris в сообщении #339145 писал(а):

этого нетривиального неравенства, и все бы увидели его красоту.

Аж гордость берёт - сам придумал!

[gris]

(Оффтоп)

Если Вы придумали, открыли его, то только для себя, что, в общем-то, весьма похвально.
На самом деле неравенство и его частные решения известны ещё со времён египетских пирамид. Великий Гаусс снял все ограничения на переменные и решил задачу геометрически. Известны и аналитические решения, и решения в простых числах, в трансцендентных, и чего-только-не-наворочено вокруг простого с виду выражения.
Я бы мог ещё больше рассказать, да это всё не в формате раздела.

Вам же посоветую решшить неравенство графически. Там ничего особенно сложного нет. Вы сразу увидите все возможные варианты.

[Батороев]

gris в сообщении #339145 писал(а):

Батороев, опять Вы ёрничаете. $(0;0)$ не является решением неравенства.
Хотя нестрогое неравенство там действительно появляется при $a\geqslant 1$.
Однако, можно было бы изобразить на плоскости в координатах $(a;x)$ решение этого нетривиального неравенства, и все бы увидели его красоту.

Ничего я не ёрничаю. Не могу понять суть Ваших сомнений?

Если рассмотреть неравенство:
$ \dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{x} >1$
вроде бы все понятно.

Если $a>0$, то оно выполняется при любом $0<x\leq 1$, т.к. слагаемое $\dfrac {1}{x}\geq 1$ плюс добавка в виде положительного числа $\dfrac {1}{a}$.
И лишь при $(0;0)$ неравенство $ax<a+x$ не верное.

[gris]

Кажется до меня дошло. Автор и Вы имеете в виду постмодернистскую постановку задачи: Найти $x$ при которых неравенство выполняется при любом $a\geqslant 0$.
Тогда да, указанная полоса без точки. То есть никак без условий не запишешь.

Обычно же решают при любом $a>0$. Тогда указанный автором ответ верен.
А Вы вот напрасно не включили $x=0$.

[Батороев]

Спасибо, gris, успокоили, а то я уж было начал вирусы у себя в голове искать.

-- 14 июл 2010 17:24 --

gris в сообщении #339155 писал(а):

А Вы вот напрасно не включили $x=0$.

Ага, чтоб меня потом уличили, что я на ноль делю?!
Лучше я это значение потом в неравенстве $ax<a+x$ отдельно проверю.

[Kitozavr]

gris в сообщении #339150 писал(а):

Вам же посоветую решшить неравенство графически.

Спасибо, попробовал.
Сначала представил как: $x<\frac{a}{a-1}$.
Потом построил график функции $y =\frac{a}{a-1}$ и посмотрел где он ниже оси $x$. Получилось $(0;1)$, но ИМХО скобки должны быть квадратные.

[Henrylee]

Kitozavr в сообщении #339243 писал(а):

ИМХО скобки должны быть квадратные.

Одна квадратная. Мне больше так нравится
При $a>1$ выполняется $x<\frac{a}{a-1}$, тогда $x\leqslant\inf\limits_{a>1}\frac{a}{a-1}=1$, обратное тоже верно, поскольку $\inf$ не достигается. При $a=1$ исходное неравенство выполняется всегда. При $0\leqslant a<1$ вып-ся $x>\frac{a}{a-1}$, что верно только в случае $x>0$. В пересечении получаем $(0,1]$.

[Kitozavr]

(Оффтоп)

А что это за операция $inf$?

[Henrylee]

(Оффтоп)

Kitozavr в сообщении #339332 писал(а):

А что это за операция $inf$?

[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC]
инфимум, точная нижняя грань множества[/url]

(Оффтоп)

Почем ссылка не видна как должна?