Бесконечное количество простых чисел в прогрессии

[ean]

Привет,

Прошу прощения, что второй раз за день с идиотским, наверное, вопросом. Я не могу понять доказательство того, что в прогрессии $4n+3$ бесконечно много простых числе.
В "Что такое математика?" Куранта и Роббинса следующее доказательство:

Цитата:

Заметим прежде всего, что всякое простое число, большее 2, - непременно чётное и, следовательно, имеет вид $4n+1$ или $4n+3$ (при целом $n$). Далее, произведение двух чисел вида $4n+1$ также есть число того же вида, так как
$(4a+1)(4b+1) = 16ab + 4a + 4b + 1 = 4(4ab+a+b)+1$.
Допустим теперь, что существует лишь конечное число простых чисел вида $4n+3$; обозначим их $p_1,p_2,...,p_n$ и рассмотрим число
$N=4(p_1p_2...p_n)-1 = 4(p_1p_2...p_n-1)+3$.
Одно из двух: либо число $N$ - простое, либо разлагается в произведение простых чисел, среди которых, однако, не может быть ни одного из чисел $p_1,p_2,...,p_n$, так как все эти числа делят $N$ с остатком -1.
Заметим далее, что все множители, входящие в $N$, не могут быть вида $4n+1$, так как само $N$ не этого вида, а мы видели, что произведение числе вида $4n+1$ является числом того же вида. Итак, хоть один из множителей, входящих в $N$, должен быть вида $4n+3$, а это невозможно, так как ни одно из чисел $p$ не входит множителем в $N$, а числами $p$ все простые числа вида $4n+3$ по предположению исчерпываются. [...] приходим к противоречию, и значит, таких чисел бесконечно много.

Следующие фрагменты мне непонятны:

1. Почему из того, что все множители, входящие в $N$, не могут быть вида $4n+1$ следует, что хоть один из множителей должен быть вида $4n+3$?
2. К чему вообще рассуждения насчёт $4n+1$, почему нельзя было взять число $4N=4(p_1p_2...p_n)+3$ и сказать, что хотя бы один из его множителей представим в виде $4n+3$ и получить противоречие?

Заранее спасибо за ответы.

[neo66]

ean в сообщении #339248 писал(а):

1. Почему из того, что все множители, входящие в $N$, не могут быть вида $4n+1$ следует, что хоть один из множителей должен быть вида $4n+3$?

Потому, что если нечетное число не имеет вид $4n+1$, то оно вида $4n+3$.

ean в сообщении #339248 писал(а):

2. К чему вообще рассуждения насчёт $4n+1$, почему нельзя было взять число $N=4(p_1p_2...p_n)+3$ и сказать, что хотя бы один из его множителей представим в виде $4n+3$ и получить противоречие?

Так не получится, потому, что такое $N$ делится на $3$.

[ean]

neo66, спасибо, теперь разобрался.