Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Удалось построить 4 примитивных квадрата 5х5 из различных простых чисел; правда, дают они пандиагональные квадраты с большой магической константой - 6077. Зато быстро построились

Вот первый пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел с магической константой 12154:


Получен с помощью решётки Россера из 4-х пандиагональных квадратов 5-го порядка, которые получены из 4-х примитивных квадратов 5х5.

Итак, есть верхняя граница магической константы наименьшего пандиагонального квадрата 10-го порядка из различных простых чисел. Нижняя граница тоже есть, я её уже указывала, повторю - 2470.

Осталось найти наименьший пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел, магическая константа которого лежит в указанном диапазоне.

[Nataly-Mak]

Есть первый пандиагональный квадрат 12-го порядка из различных простых чисел!



Магическая константа большая, конечно: 13860. Замечу, что обычный МК 12-го порядка из простых чисел имеет минимальную константу 4584.

Пандиагональный квадрат построен из девяти пандиагональных квадратов 4х4 с одинаковой магической константой 4620 по решётке Россера (что хорошо видно на картинке).

Итак, есть нижняя и верхняя границы магической константы для наименьшего пандиагонального квадрата 12-го порядка из различных простых чисел.

[Nataly-Mak]

Минимизация магических констант пандиагональных квадратов из простых чисел идёт туго, но всё же получается.

Удалось построить пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел с магической константой 6998. Напомню, что предыдущий квадрат имел магическую константу 12154. Таким образом, константа уменьшена почти вдвое. Метод построения тот же - решётка Россера.

Вот этот квадратик:



Кто рискнёт уменьшить? Не так это просто, однако

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #320925 писал(а):

Еще немного и пандиагональный МК 4х4 из последовательных простых чисел будет найден! По моим оценкам он где то в районе значений простых чисел 500 миллиардов.

Увы, но ваши оценки несостоятельны. Моя программка дошла уже до 7.5 триллионов, но пандиагонального МК 4х4 из последовательных простых так и не нашла.

[Pavlovsky]

maxal в сообщении #339109 писал(а):

Pavlovsky в сообщении #320925 писал(а):

Еще немного и пандиагональный МК 4х4 из последовательных простых чисел будет найден! По моим оценкам он где то в районе значений простых чисел 500 миллиардов.

Увы, но ваши оценки несостоятельны. Моя программка дошла уже до 7.5 триллионов, но пандиагонального МК 4х4 из последовательных простых так и не нашла.

Это была провокация. Кроме вас некому проверить на таких больших значениях простых чисел.

7.5 триллионов - отличный результат!!!

-- Ср июл 14, 2010 17:48:43 --

maxal в сообщении #320846 писал(а):

Кстати, в OEIS имеется несколько последовательностей, напрямую связанных с этой задачей:
A055382

maxal ты случаем для этой последовательности попутно не искал следующий член последовательности?

Последовательность из 20 комплементарных чисел начинается с 1797595814863.

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #339194 писал(а):

maxal ты случаем для этой последовательности попутно не искал следующий член последовательности?

Последовательность из 20 комплементарных чисел начинается с 1797595814863.

Результаты сохраняются, поэтому проверить на наличие новых членов A055382 не составляет труда. В текущих пределах поиска последовательности из 22 комплементарных простых нет.

Зато есть ещё две последовательности из 20 комплементарных простых: начинающиеся с 2375065608481 и 4465545586753.

[Nataly-Mak]

Появилась новая последовательность в OEIS A179440

[Nataly-Mak]

Установила, что нетрадиционный ассоциативный квадрат 6-го порядка превращается в пандиагональный с помощью преобразования 3-х квадратов, так же, как и любой ассоциативный квадрат порядка $n=4k$.
Пример:

1 48 3 45 10 43
44 14 38 16 30 8
35 9 33 13 31 29
21 19 37 17 41 15
42 20 34 12 36 6
7 40 5 47 2 49

Это ассоциативный квадрат.

1 48 3 43 10 45
44 14 38 8 30 16
35 9 33 29 31 13
7 40 5 49 2 47
42 20 34 6 36 12
21 19 37 15 41 17

Это пандиагональный квадрат, полученный из ассоциативного преобразованием 3-х квадратов (преобразование описано в моей книге "Волшебный мир магических квадратов").

Таким образом, для построения пандиагонального квадрата 6-го порядка из простых чисел достаточно построить ассоциативный квадрат.
Для построения ассоциативного квадрата 6-го порядка необходимо иметь 18 пар комплементарных чисел (условие необходимое, но не достаточное).
Написала программу построения ассоциативного квадрата из 18 пар комплементарных чисел (представленный ассоциативный квадрат построен по этой программе). Но для 18 пар простых чисел программа выполняется очень долго.
Беру, например, такие 18 пар комплементарных простых чисел:

11 13 17 19 23 29 43 59 67 79 89 101 103 107 113 131 137 149 157 167 181 191 193 197 223 227 233 263 269 271 1879 1877 1873
1871 1867 1861 1847 1831 1823 1811 1801 1789 1787 1783 1777 1759 1753 1741 1733 1723 1709 1699 1697 1693 1667 1663 1657 1627 1621 1619

По программе 12d3 из этих 36 чисел строятся обычные магические квадраты, правда, я не стала строить все квадраты, может быть, и ассоциативные среди них оказались бы; но квадратов очень много строится, поэтому программу прервала. Вот пример МК, составленного из этих чисел:

13  17  11  1879  1873  1877  
1867  1871  1861  29  19  23  
1787  1783  107  137  1753  103  
149  131  1759  1777  113  1741  
43  67  1831  59  1823  1847  
1811  1801  101  1789  89  79

Запускаю свою программу построения ассоциативного квадрата, программа надолго задумывается.
Приведённые числа имеют сумму в комплементарной паре 1890. Комплементарных пар с такой суммой я нашла 91 штуку. Можно ожидать, что из всех этих пар ассоциативный квадрат 6-го порядка составится.

maxal
помнится, вы говорили, что для специальных видов МК можете по своим программам выполнить построения до порядка 6 включительно.
Не могли бы вы попробовать построить ассоциативный квадрат 6-го порядка из приведённых комплементарных пар.

Вот все 91 штуки комплементарных пар с суммой 1890:

11  1879 13  1877 17  1873 19  1871 23  1867 29  1861 43  1847 59  1831 67  1823 79  1811 89  1801 101  1789 103  1787 107  1783 113  1777 131  1759 137  1753 149  1741 157  1733 167  1723 181  1709 191  1699 193  1697 197  1693 223  1667 227  1663 233  1657 263  1627 269  1621 
271  1619  277  1613  281  1609 283  1607 293  1597 307  1583 311  1579 331  1559 337  1553 347  1543 359  1531 367  1523 379  1511 397  1493 401  1489 409  1481 419  1471 431  1459 439  1451 443  1447 457  1433 461  1429 463  1427 467  1423 491  1399 509  1381 523  1367 563  1327 
569  1321 571  1319 587  1303 593  1297 599  1291 601  1289 607  1283 
613  1277 631  1259 641  1249 653  1237 659  1231 661  1229 673  1217 677  1213 709  1181 719  1171 727  1163 739  1151 761  1129 773  1117 787  1103 797  1093 821  1069 827  1063 829  1061 839  1051 857  1033 
859  1031 877  1013 881  1009 907  983 919  971 937  953

Есть, конечно, много наборов комплементарных пар с другой суммой. Я взяла первый попавшийся набор. Недавно строила пандиагональные квадраты 4-го порядка из простых чисел и для этой цели искала комплементарные пары. Самой большой набор комплементарных пар из найденных мной состоит из 114 пар.
Однако желательно брать комплементарные пары с самой маленькой суммой, чтобы построить наименьший ассоциативный квадрат 6-го порядка. Понятно, что комплементарных пар должно быть как минимум 18.

Задача предлагается всем:
Построить наименьший ассоциативный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел.
Можно попробовать и для смитов (произвольных).

[Nataly-Mak]

В предыдущем сообщении показала не 18 пар комплементарных чисел, а 30 пар (просто скопировала их из входного файла, а забыла, что уже расширила набор чисел до 30 пар).

[Nataly-Mak]

Определила первый набор, состоящий из 19 комплементарных пар простых чисел, с суммой в паре 210:

11 13 17 19 29 31 37 43 47 53 59 61 71 73 79 83 97 101 103 199 197 193 191 181 179 173 167 163 157 151 149 139 137 131 127 113 109 107

Обычных МК из этих чисел составляется очень много. Вот, например, один из них, полученный по программе ice00 (программа 12d3 выдаёт сообщение: слишком мало виртуальной памяти; немудрено, сформировано более 17 тысяч цепочек с заданной магической константой):

97  59  31  193 101 149 
163 173 157 47  79  11  
13  127 83  43  197 167 
181 61  29  151 71  137 
37  191 199 17  73  113 
139 19  131 179 109 53

Важное замечание: по программе ice00 проверялся массив, состоящий точно из 18 пар (36 чисел), то есть одна пара не участвовала в построении.

Очень интересно, есть ли среди этого огромного количества МК хоть один ассоциативный квадрат?

Кто поможет проверить

Если ассоциативный квадрат из этих чисел составляется, тогда мы получим пандиагональный квадрат 6-го порядка с магической константой 630.

Сейчас найду следующие потенциальные наборы комплементарных пар простых чисел для составления ассоциативных квадратов 6-го порядка.

-- Вт июл 20, 2010 06:58:02 --

Ура!!! Удача!

Решила запустить свою программу построения ассоциативного квадрата 6-го порядка из только что найденных 19 комплементарных пар простых чисел. Без всякой надежды на успех запустила программу и собралась уходить готовить завтрак. Но уйти не успела – ассоциативный квадрат построился мгновенно! Вот он:

11 197 17 191 47 167
181 31 173 53 131 61
139 59 137 83 109 103
107 101 127 73 151 71
149 79 157 37 179 29
43 163 19 193 13 199

И вот пандиагональный квадрат 6-го порядка с магической константой 630, полученный из данного ассоциативного квадрата преобразованием 3-х квадратов:

11 197 17 167 47 191
181 31 173 61 131 53
139 59 137 103 109 83
43 163 19 199 13 193
149 79 157 29 179 37
107 101 127 71 151 73

Итак, получен пандиагональный квадрат 6-го порядка из произвольных простых чисел с магической константой 630. Известный пандиагональнй квадрат 6-го порядка составлен из последовательных простых чисел и имеет магическую константу 930.

В статье Россера я не нашла алгоритма построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 6-го порядка. Этот алгоритм разработан.
Нет в этой статье и алгоритма построения нетрадиционного пандиагонального квадрата порядка 9 (по крайней мере, я не нашла). Теперь надо разработать этот алгоритм. Я уже получила несколько алгоритмов, но для квадратов из простых чисел они не годятся, а годятся только для квадратов из произвольных натуральных чисел.

[Nataly-Mak]

Теперь надо бы проверить, не составляется ли ассоциативный квадрат 6-го порядка из найденных тут 28 комплементарных пар из смитов с суммой в паре равной 7280.
Вполне может оказаться, что такой квадрат составляется. Однако по моей программе это быстро проверить невозможно.
Взяла первые 18 пар и попробовала по программе 12d3 построить обычные МК, таких квадратов получается много, вот, например, один из них:

94  202  85  7195  7078  7186  
6934  6718  6502  562  778  346  
1678  6385  6295  5602  895  985  
5998  1795  1282  1165  5485  6115  
5242  5098  2038  5458  2182  1822  
1894  1642  5638  1858  5422  5386

Напомню, что из произвольных смитов у нас построены наименьшие пандиагональные квадраты порядков 4 (maxal) и 5 (Pavlovsky).

Если из указанных 28 комплементарных пар удастся построить ассоциативный квадрат 6-го порядка, из него получится пандиагональный квадрат с магической константой 21840.

Алгоритм построения пандиагональных квадратов порядка 7 с помощью примитивных квадратов хорошо сработал для квадратов из простых чисел. Однако для квадратов из смитов результатов пока нет.

svb
как у вас дела с пандиагональными квадратами 7-го порядка из смитов? Вы ими занимаетесь?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #339848 писал(а):

maxal
помнится, вы говорили, что для специальных видов МК можете по своим программам выполнить построения до порядка 6 включительно.
Не могли бы вы попробовать построить ассоциативный квадрат 6-го порядка из приведённых комплементарных пар.

Еще актуально?
А то я тут очень занят был последнее время.

[Nataly-Mak]

Из простых чисел уже построила ассоциативный и пандиагональный квадраты 6-го порядка.
Теперь актуально для таких квадратов из смитов (см. предыдущее сообщение).
Надо попробовать построить ассоциативный квадрат 6-го порядка из найденных вами ранее 28 комплементарных пар смитов.
Если из этих 28 пар не получится, брать следующий набор комплементарных пар из смитов.

Да, ещё такой вопрос: нет ли набора не менее чем из 18 пар комплементарных чисел из смитов с меньшей суммой чисел в паре, чем сумма 7280?
Если есть такие наборы, их тоже надо проверить на предмет составления ассоциативного квадрата 6-го порядка.

[svb]

Nataly-Mak в [url=http://dxdy.ru/post340279.html#p340279] писал(а):

как у вас дела с пандиагональными квадратами 7-го порядка из смитов? Вы ими занимаетесь?

Мне приятнее -35, чем +35. Ничем не могу заниматься в такую жару, даже в ПФ не могу сходить заявление на пенсию написать. Собираюсь привести в порядок те кусочки программ, которые у меня валяются в компьютере в абсолютно непотребном состоянии. Последняя попытка осилить пандиагональные квадраты 11 порядка тем же способом (по той же программе), что и 5 с 7 порядками, привела в полный тупик. Меня все больше одолевает идея написания "чувствующих" алгоритмов по аналогии с работой человеческого мозга (правое/левое полушарие) - человеку все же удается преодолевать экспоненту. Принципиальных трудностей в этом направлении пока не вижу - надо пробовать. Аналоги лежат в диапазоне от "вероятностных" алгоритмов (часто весьма эффективных) до "эвристических". "Тупость" существующих алгоритмов в жесткости принимаемых решений. Особое место занимают самые "тупые" алгоритмы тотального перебора. Локально они, пожалуй, самые эффективные, но они бессильны перед экспоненциальным ростом возможных состояний. Однако, именно они дают (или должны давать) информацию для "чувственных" оценочных блоков алгоритма. Если сводить эти оценки к "расстоянию" до цели, то эффективность подобного решения наблюдается только на дальних подступах к цели, при приближении же к цели процесс поиска практически останавливается. У человека в таком положении срабатывают "чувственные" ограничители и он принимает решение похожее на "случайное", но ... что такое "случайность"? Мы в своих логических умозаключениях не очень часто об этом задумываемся, таково наше воспитание. Аксиоматики, построенные в начале ХХ века, мы воспринимаем как данность. Мне вспоминается один эпизод из моей жизни. После сдачи мной зачета по теории вероятностей (в МГУ) молодой преподаватель, отдавая мне зачетку, вдруг спросил: "а что такое случайность?". Было видно, что вопрос он больше адресовал самому себе ...

Извините за бла-бла - жара.

[Pavlovsky]

svb Вы как будто мои мысли читаете. Я примерно сейчас в таком же состоянии. Жара и экспоненциальный взрыв меня доконали.