+1 с вер. p, -1 с вер. (1-p), число шагов достижения уровня

[user08]

Переменная $x$ может увеличиться на 1 с вероятностью $p$ или уменьшиться на $1$ с вероятностью $1-p$. С какой вероятностью $x$ достигнет $A$ за $n$ изменений $x$?

[ewert]

$A=n_1-n_2$ при условии, что $n_1+n_2=n$. Формула Бернулли.

[PAV]

Случайные блуждания. В условии необходимо уточнить два момента: каково начальное значение $x$ и что означает "достигнуть". Можно предложить не менее трех в равной степени разумных трактовок.

[Shtirlic]

ewert в сообщении #338133 писал(а):

$A=n_1-n_2$ при условии, что $n_1+n_2=n$. Формула Бернулли.

PAV в сообщении #338148 писал(а):

Случайные блуждания. В условии необходимо уточнить два момента: каково начальное значение $x$ и что означает "достигнуть". Можно предложить не менее трех в равной степени разумных трактовок.

Я так понял, что ewert имел ввиду травтовку, будет равно $A$, через $n$ ходов. Тогда небольшая поправка $A-x=n_1-n_2$.

-- Пт июл 09, 2010 19:02:59 --

А еще точнее$|A-x|=n_1-n_2$!

[user08]

PAV в сообщении #338148 писал(а):

В условии необходимо уточнить два момента: каково начальное значение $x$

Пусть будет $X$.

PAV в сообщении #338148 писал(а):

и что означает "достигнуть"

Я имел в виду, что $x$ получит значение $A$ хотя бы один раз в течение n изменений.

[PAV]

В таком случае это задача о вероятности разорения игрока при справедливой игре. Вещь известная, ищите.

[--mS--]

Вставлю свои две копейки.
Можно воспользоваться соотношениями двойственности: пусть дано случайное блуждание $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$, где $\xi_i$ - независимые и одинаково распределённые случайные величины, принимающие целочисленные значения, не превосходящие единицы (наш случай). И пусть $S_0=0$ (к этому можно перейти сдвигом границы $A$ на значение в нуле $X$). Величина $\eta(z) = \min\{k~:~S_k\geqslant z\}$ удовлетворяет при всех целочисленных $z\geqslant 1$ тождеству:

$$ m\mathsf P(\eta(z)=m) = z\mathsf P(S_m=z). $$

(См., например, учебник А.А.Боровкова "Теория вероятностей" 1986 г., теорема 7 параграфа 8 гл.11).

Вычисление вероятности $\mathsf P(S_m=z)$ для слагаемых со значениями плюс-минус один сводится к формуле Бернулли, что позволяет найти вероятность $\mathsf P(\eta(z)=m)$ явным образом. Сумируя эти вероятности по $m=0,\ldots,n$, получим искомую вероятность $\mathsf P(\eta(x) \leqslant n)$, где уровень $z$ выражается через $A$ и начальное значение $X$.

[Shtirlic]

--mS-- в сообщении #338211 писал(а):

Вставлю свои две копейки.
Можно воспользоваться соотношениями двойственности: пусть дано случайное блуждание $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$, где $\xi_i$ - независимые и одинаково распределённые случайные величины, принимающие целочисленные значения, не превосходящие единицы (наш случай). И пусть $S_0=0$ (к этому можно перейти сдвигом границы $A$ на значение в нуле $X$). Величина $\eta(z) = \min\{k~:~S_k\geqslant z\}$ удовлетворяет при всех целочисленных $z\geqslant 1$ тождеству:

$$ m\mathsf P(\eta(z)=m) = z\mathsf P(S_m=z). $$

(См., например, учебник А.А.Боровкова "Теория вероятностей" 1986 г., теорема 7 параграфа 8 гл.11).

Вычисление вероятности $\mathsf P(S_m=z)$ для слагаемых со значениями плюс-минус один сводится к формуле Бернулли, что позволяет найти вероятность $\mathsf P(\eta(z)=m)$ явным образом. Сумируя эти вероятности по $m=0,\ldots,n$, получим искомую вероятность $\mathsf P(\eta(x) \leqslant n)$, где уровень $z$ выражается через $A$ и начальное значение $X$.

Я полагаю, что это решение не пойдет! Так как события $x$ достигнет $A$ за $k$ шагов и $x$ достигнет $A$ за $k+2$ шаг совместны. А для $k$ и $k+1$ как бы вообще не одно событие было.

[--mS--]

Shtirlic в сообщении #338212 писал(а):

Я полагаю, что это решение не пойдет! Так как события $x$ достигнет $A$ за $k$ шагов и $x$ достигнет $A$ за $k+2$ шаг совместны. А для $k$ и $k+1$ как бы вообще не одно событие было.

Вы возражаете против $\mathsf P(\eta \leqslant n) = \mathsf P(\eta = 0)+\mathsf P(\eta = 1)+\ldots+\mathsf P(\eta = n)$? Даже не знаю, как ответить ;)
Чем возражать, лучше прочтите и разберитесь. Это классическое решение, ничего моего тут нет.

[Shtirlic]

--mS-- в сообщении #338215 писал(а):

Shtirlic в сообщении #338212 писал(а):

Я полагаю, что это решение не пойдет! Так как события $x$ достигнет $A$ за $k$ шагов и $x$ достигнет $A$ за $k+2$ шаг совместны. А для $k$ и $k+1$ как бы вообще не одно событие было.

Вы возражаете против $\mathsf P(\eta \leqslant n) = \mathsf P(\eta = 0)+\mathsf P(\eta = 1)+\ldots+\mathsf P(\eta = n)$? Даже не знаю, как ответить ;)

Нет не возражаю, я просто упустил минимум в задании СВ $\eta$, что исключает повторения. Все нормально.

[--mS--]

Shtirlic в сообщении #338217 писал(а):

Нет не возражаю, я просто упустил минимум в задании СВ $\eta$, что исключает повторения. Все нормально.

Простите меня, зануду, однако равенству $\mathsf P(\eta \leqslant n) = \mathsf P(\eta = 0)+\mathsf P(\eta = 1)+\ldots+\mathsf P(\eta = n)$ всё равно, как задана случайная величина $\eta$ :) Оно верно для любой неотрицательной и целочисленной с.в.

(Оффтоп)

Интересно, как на самом деле звучит задание? А то залезли мы в блуждания какие-то, а ТС только-только табличные интегралы брать учился...

[user08]

Может кто посоветовать где можно про это почитать, но чтобы было написано понятно человеку, не богатому знаниями математики? Сколько литературы уже посмотрел про эту задачу, везде встречается что-то непонятное.

[мат-ламер]

Феллер. Введение в ТВ ... т.1. гл.14.

[user08]

Спасибо, ничего пока непонятно с разностными уравнениями, но пока не буду с ними заморачиваться, поверю полученной формуле. А в случае когда у одного из игроков бесконечно много денег, то другой обязательно разорится независимо от вероятности выигрыша одной партии?

[user08]

user08 в сообщении #338269 писал(а):

А в случае когда у одного из игроков бесконечно много денег, то другой обязательно разорится независимо от вероятности выигрыша одной партии?

А вот, у Феллера написано об этом. Спасибо