Заданияе прямой в пространстве (пересечение плоскостей)

[Chromocenter]

Помогите с проблемой, пожалуйста:
как можно представить пряму задавнную в виде двух пересекающихся плоскостей в канонической форме? Наоборот - понятно немного больше, но тоже интересно.
Заранее спасибо.

[C0rWin]

Нужно всего навсего найти решение системы уравнений, которые представляют плоскости, что и даст прямую, потом нужно будет только перевести ее в каноническую форму.

[Chromocenter]

Так я понимаю, что система из двух линейных уравнений с тремя переменными - это и две пересекающиеся плоскости и прямая. А как это дело в каноническую форму переводить. И наоборот. Вообще покопался в справочнике Бронштейна-Семендяева и там была формула для первого случая - громозкая до жути! А наоборот - нет. Не поможите, если не очень затруднит?

[C0rWin]

Решением системы Ax = b будет x = x_p + tx_hгде x_p это частное решение системы, а x_h решение однородной системы уравнений... Теперь просто нужно выразить параметр t для каждой координаты и преравнять их. Так вот и получится каноническая форма.

[Chromocenter]

Что-то не очень понял, о решении какой системы идёт речь...

[C0rWin]

\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_1 } & {b_1 } & {c_1 } \\ {a_2 } & {b_2 } & {c_2 } \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {d_1 } \\ {d_2 } \\ \end{array}} \right)
Известно, что плоскоть задается уравнением вида:
ax + by + cz + d = 0
В вашем случаем у вас две плоскости и их пересечение является прямой, можно даже превести аналогию с пересечением двух прямых. Чтобы найти точку этого пересечения вы решаете систему уравнений этих прямых. Тут то же самое, просто в результате решение получится прямая.

[PAV]

Я бы сказал так: если задачу нужно решить для конкретных чисел (не в общем виде), то просто из имеющихся двух уравнений выразите какие-либо две переменные через третью. Это и даст уравнение прямой, где третья переменная будет играть роль параметра.

[Chromocenter]

Всем спасибо. Буду думать - особенно над последним. Если чего не выдет - спрошу. (Если ещё я тут не надоел со своими дурацкими вопросами)

[Chromocenter]

Не получается что-то... Выражая, скажем Х через Y и принимая Z за параметр получаю такое длинное выражение для Y, ну и что дальше с ним делать?

[Someone]

Chromocenter писал(а):

Помогите с проблемой, пожалуйста:
как можно представить пряму задавнную в виде двух пересекающихся плоскостей в канонической форме? Наоборот - понятно немного больше, но тоже интересно.
Заранее спасибо.

Прямая задана системой уравнений, определяющих пересекающиеся плоскости:

$$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\text{,}\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\text{.}\end{cases}$$

Это означает, что нормальные векторы плоскостей $\vec n_1=\{A_1,B_1,C_1\}$ и $\vec n_2=\[A_2,B_2,C_2\}$ не коллинеарны. Поэтому их векторное произведение $\vec a=[\vec n_1\times\vec n_2](=\{l,m,n\})$ есть ненулевой вектор, параллельный обеим плоскостям и, следовательно, параллельный их линии пересечения.
Теперь надо найти какую-нибудь точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$, принадлежащую прямой. Для этого нужно задать произвольное значение одной из координат, а две другие найти из заданной системы уравнений (иногда полученная система может не решаться, тогда надо попробовать задать другую координату; в одном из трёх случаев обязательно получится; чтобы наверняка получилось, нужно посмотреть на координаты вычисленного выше вектора $\vec a=\{l,m,n\}$; какая координата не равна нулю у этого вектора, ту можно задавать произвольно у точки $M_0$).
После этого остаётся только написать каноническое уравнение прямой:

$$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n\text{.}$$

Иногда может быть удобнее параметрическое уравнение:

$$\begin{cases}x=x_0+lt\text{,}\\y=y_0+mt\text{,}\\z=z_0+nt\text{.}\end{cases}$$

Обратный переход ещё проще: каноническое уравнение на самом деле определяет три плоскости, пересекающиеся по заданной прямой, но иногда две из них совпадают (если прямая параллельна одной или двум из координатных плоскостей). Возьмите те две из них, которые не совпадают. Эти три плоскости получаются, если из трёх частей канонического уравнения оставить только две (это можно сделать тремя способами, поэтому плоскостей три). Только избавьтесь от знаменателей, умножив на них.

[Chromocenter]

Уф, на наконец-то! Someone, вы меня во второй раз уже так "спасаете" - спасибо большое!