Плотность заряда на плоском круглом диске

[t_dream]

Помогите пожалуйста решить задачу или подскажите место где есть решение:
Тонкий плоский проводящий круглый диск радиусом $R$ расположен в плоскости $xy$ так, что его центр совпадает с началом координат, и находится под потенциалом $V$. Найти плотность наведенного заряда на диске (она пропорциональна выражению $(R^2-\rho^2)^{-1/2}$, где $R$ - радиус диска, $\rho$ - расстояние от центра диска.

[Zai]

Потенциал в точке $r_0$ имеет вид
$\Phi(r_0)=\int_0^R \int _0^{2\pi} \frac {r q(r) dr d\theta} {r_o^2+r^2-2r_0r\cos \theta} $
Условие $\frac {d\Phi(r_0)} {dr_0}=0 $ даст Вам интегральное уравнение для $q(r)$

[peregoudov]

Только вы забыли еще корень в знаменателе, поэтому внутренний интеграл будет эллиптическим

$$ \Phi(r_0)=\int_0^Rdr\,rq(r)\frac4{r+r_0}K\!\left(\frac{2\sqrt{rr_0}}{r+r_0}\right), $$

и непонятно, что с ним дальше делать.

На самом деле задача решается в эллиптических координатах, ответ такой (с точностью до множителя)

$$ \phi(z,r)=\arctg\xi-\pi/2,\quad \xi^2=\frac{r^2+z^2-1+\sqrt{(r^2+z^2-1)^2+4z^2}}2. $$

Диску соответствует $z=0$, $r<1$. Плотность заряда на диске пропорциональна

$$ \left.\frac{\partial\phi}{\partial z}\right|_{z=0,r<1}=(1-r^2)^{-1/2}. $$

[t_dream]

Нашла решение этой задачки в книге В. СМАЙТ ЭЛЕКТРОСТАТИКА и ЭЛЕКТРОДИНАМИКА стр. 119

[Парджеттер]

Парджеттер:

Тема переносится из "Физики" в "Помогите решить/разобраться (Ф)".