Распространение тепла.

[s.o.s.]

Здравствуйте!Помогите пожалуйста разобраться!Читаю Уравнения МатФиз Тихомирова-Самарского.Там есть следующий абзац:
пусть ds - некоторая площадка в точке P c нормалью n. Количество тепла, протекающего через ds в единицу времени, согласно закону Фурье, равно:
$\[ W_n ds = (Wn)ds = - k\frac{{du}} {{dn}}ds \] $
я вот и не понимаю, количество тепла в единицу времени...но у нас же производная идёт не по времени...???

[whiterussian]

Насколько я понимаю, $W_n$ - уже мощность, а не энергия. Поэтому, с размерностью - все в порядке. Хотя, не имея книги, сложно что-то вразумительное сказать. Не подскажите, что обозначают $k$ и $u$? Я догадываюсь, но истина дороже...

[s.o.s.]

k- коэффициент теплопроводности.
W - вектор плотности теплового потока.
u - температура в точке.

[whiterussian]

А как вы определяете "вектор плотности теплового потока"?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #337221 писал(а):

я вот и не понимаю, количество тепла в единицу времени...но у нас же производная идёт не по времени...???

Время уже исключено. Остаётся только перепад температур, который и диктует тот поток. Под "перепадом" подразумевается, естественно, градиент. Чем он выше, тем и поток тепла больше. Но! ясно, что фактический поток определяется не только градиентом, но и тем, насколько близок вектор того градиента к вектору нормали. Чем ближе -- тем (при прочих равных условиях) и поток больше. После тщательного, вдумчивого (и вполне тривиального) анализу выясняется, что поток тепла пропорционален произведению модуля градиента на косинус угла между ним и вектором нормали. Т.е. -- соответствующему скалярному произведению этих векторов.

А вот уж то скалярное произведение -- и есть производная температуры по направлению вектора нормали, не более и не менее; ничего тут уж не поделаешь, и нет в конкретно этом месте никакой физики -- просто уж математика так устроена..

[whiterussian]

(Оффтоп)

перефразируя известную поговорку: пришел ewert и все рассказал.

[ewert]

(Оффтоп)

whiterussian в сообщении #337239 писал(а):

перефразируя известную поговорку: пришел ewert и все рассказал.

Я бы сказал: "поручик, молчать!" -- кабы рода совпадали.

И потом -- Вы пропустили ключевые слова: "Ну вот, ..."

[whiterussian]

(Оффтоп)

Yes, SIR!

[s.o.s.]

ewert в сообщении #337237 писал(а):

Время уже исключено. Остаётся только перепад температур, который и диктует тот поток. Под "перепадом" подразумевается, естественно, градиент. Чем он выше, тем и поток тепла больше. Но! ясно, что фактический поток определяется не только градиентом, но и тем, насколько близок вектор того градиента к вектору нормали. Чем ближе -- тем (при прочих равных условиях) и поток больше. После тщательного, вдумчивого (и вполне тривиального) анализу выясняется, что поток тепла пропорционален произведению модуля градиента на косинус угла между ним и вектором нормали. Т.е. -- соответствующему скалярному произведению этих векторов.

А вот уж то скалярное произведение -- и есть производная температуры по направлению вектора нормали, не более и не менее; ничего тут уж не поделаешь, и нет в конкретно этом месте никакой физики -- просто уж математика так устроена..

Ой, извините....но я что-то ничего не понял:)
Вот смотрите, я посмотрел в Википедии закон Фурье и там коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м*K), получается время не исключено? и оно зашито в этом коэффициенте?

И второй вопрос, я всегда представлял в геометрической интерпретации, что градиент - это и есть вектор нормали к поверхности уровня, или нет?

[Парджеттер]

s.o.s. в сообщении #337312 писал(а):

в Википедии закон Фурье и там коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м*K), получается время не исключено?

Мде. Посмотрите, что такое ватт тогда уж заодно. Вообще, правильный совет тут такой - прежде чем читать урматфизы, особенно если есть желание понять физическую часть вывода, надо бы хотя бы в школьной физике ориентироваться.

s.o.s. в сообщении #337312 писал(а):

я всегда представлял в геометрической интерпретации, что градиент - это и есть вектор нормали к поверхности уровня, или нет?

А причем тут поверхность уровня?

[PapaKarlo]

s.o.s. в сообщении #337221 писал(а):

Здравствуйте!Помогите пожалуйста разобраться!Читаю Уравнения МатФиз Тихомирова-Самарского.Там есть следующий абзац:
пусть ds - некоторая площадка в точке P c нормалью n. Количество тепла, протекающего через ds в единицу времени, согласно закону Фурье, равно:
$W_n ds = (Wn)ds = - k\frac{du}{dn}ds$
я вот и не понимаю, количество тепла в единицу времени...но у нас же производная идёт не по времени...???

Давайте сначала разберемся с производной по направлению нормали. В книге после процитированного Вами абзаца приведено разъяснение, что это за зверь - это некое выражение, содержащее частные производные по пространственным координатам функции, выражающей зависимость температуры от пространственных координат и времени. Т.е. по определению понятия частной производной $\frac{\partial u}{\partial n}$ - это величина, вычисляемая для фиксированного момента времени. В общем случае эта величина является функцией и координат, и времени, но смысл ее в определении того, как сильно различается температура в двух (близких) точках пространства в один и тот же момент времени.

Теперь посмотрим на коэффициент $k$. В учебнике также указано, что в общем случае этот коэффициент может зависеть от как от разности координат, так и от направления между двумя близкими точками (т.е. быть тензором); однако рассмотрение ограничивается изотропной средой, т.е. средой, в которой все направления равноправны (ниже в учебнике рассматривается частный случай, когда среда еще и однородна - коэффициент $k$ вообще не зависит от координат). Более того, закон теплопроводности Фурье справедлив лишь для случая, когда свойства среды не зависят от времени.

В итоге получается, что количество энергии, передаваемое от одной точки к другой, зависит от разности температур. Пока эта разность мала, за большее время передатся прямо пропорционально большее количество энергии (тепла). Значит, коэффициент пропорциональности $k$ может учесть, сколько тепла будет передано за едниницу времени. Именно поэтому с правой стороны в формуле этот коэффициент, а в левой - энергия за единицу времени (мощность), и таким образом производная по времени, равная константе, и учтена в коэффициенте.

И поскольку количество переносимой энергии относят не только к единице времени, но и к объему, через который энергия переносится за единицу времени, получается не мощность (энергия за единицу времени), а плотность мощности. Но это звучит несколько коряво, поскольку мощность больше ассоциируется с работой в единицу времени, а в данном случае говорят о потоке, что тоже есть энергия в единицу времени, и о его (объемной) плотности.

s.o.s. в сообщении #337312 писал(а):

И второй вопрос, я всегда представлял в геометрической интерпретации, что градиент - это и есть вектор нормали к поверхности уровня, или нет?

Нормаль - чисто геометрическое понятие, обычно - единичный вектор. Градиент некоей скалярной функции коллинеарен нормали к поверхности в каждой точке которой функция постоянна (то, что Вы назвали "поверхностью уровня", но лучше уж говорить о градиенте, например, потенциала и о нормали к эквипотенциальной поверхности), однако не равен ему; надо также помнить и про физический смысл функции, для которой берется градиент.

[ewert]

Это, по-моему, несколько не в ту сторону.

s.o.s. в сообщении #337312 писал(а):

, я всегда представлял в геометрической интерпретации, что градиент - это и есть вектор нормали к поверхности уровня, или нет?

Да, конечно. Только в Вашей формуле нормаль -- это к поверхности вовсе не уровня (та поверхность в данном случае вообще никого пока не волнует), а к той поверхности, через элементарный участок которой наблюдается поток тепла.