Загадка научного сообщества

[myhand]

1) Ответил Вам. Если Вы в упор не видите ответа - это Ваши трудности. К сожалению, у меня сейчас нет доступа к тексту
[1] L. Allen and M. J. Padgett “Response to Question #79. Does a plane wave carry spin angular momentum?” Am. J. Phys., Vol. 70, No. 6, June 2002
Но сильно подозреваю, что там Вам ответили именно подобным образом.

2) Если приводите ссылки - приводите полностью, не нужно копипастить фрагменты из своих статей, в надежде что кто-то догадется что у Вас означает ссылка [8] на Ландау и Лифшица или [10] на Синга. Если на том II теории поля, то они с Вами не согласны. Там прямо (1) указано на неоднозначность ТЭИ в электродинамике и (2) то, что на интегральных характеристиках (а не плотностях энергии, импульса и т.д.) - эта неоднозначность не сказывается. Как минимум ссылку на конкретные параграфы я уже приводил ранее в треде.

В общем, про неединственность ТЭИ уже писали в этом треде, не считаю нужным повторять аргументы и ссылки. Если понадобится - напомню.

3) "Пристаю" я к Вам с каноническими ТЭИ (и глупыми задачками для третьекурсников) не с проста, а потому, что Вы объявили о проблемах при симметризации канонического ТЭИ процедурой Белинфанте-Розенфельда (каковых, как можно увидеть в предложенных примерах, - не наблюдается).

Если я неправильно Вас понял, то извините.

Если же Вам кажется, что проблемы есть - разберите предложенные примеры и покажите. Лагранжианы вполне конкретные, для них справедлив соответствующий закон сохранения, Вам известна формула ТЭИ из теоремы Нетер и добавка Б-Р. Покажите, что у Вас получится после подобной симметризации.

4) Не нужно просто бессистемно копипастить фрагменты своих статей. Имейте терпение к своим читателям - не только я, но и другие участники дискуссии не поленились набрать формулы, где потребуется. Привести полные ссылки и т.п.

Я, например, вполне стерплю ситуацию, когда меня кто-то обоснованно (подробно описав в чем я неправ, пробелы в знаниях и т.п.) назовет некомпетентным в каком-либо вопросе, дураком, глупцом или просто вообще - полностью проигнорирует мои вопросы. Но отвечать на них тупо копипастя свои писания - это элементарное неуважение к собеседнику и вежливые слова его не заменят.

Если Ваша цель - просто привлечь внимание к своим работам, а не их обсуждение - то вопросы задавать бессмысленно, я понимаю. Тогда последний момент, чтобы внести ясность. Физически измеримый (по-вашему компоненты тензора спина вполне измеримы, верно?) результат в калибровочно-инвариантной теории у Вас зависит от выбора калибровки (т.е. напрямую зависит от $A_i$). Это так? Если это так - то результат неправильный, т.к. уравнения движения (частиц, поля...) от калибровки не зависят. Как и законы сохранения.

Прошу модераторов обратить внимание на стиль ведения дискуссии Khrapko. Мне кажется, что она ведется в нарушение правил форума и ни к чему конструктивному не приведет. Хотя сами поднятые вопросы (о тензоре спина в электродинамике, или о единственности ТЭИ) - вполне интересены.

[Khrapko]

1) В течение 11 лет спрашивается, будет ли испытывать момент силы внутренняя часть тела, поглощающего луч круговой поляризации? Этот вопрос важен, потому что не него не могут ответить те, кто отвергает классический тензора спина. Я задаю этот вопрос здесь шестой раз. Четыре раза Myhand увиливал от ответа. Один раз он вообще не заметил этого вопроса и стыда не чувствует. То увиливание от ответа, на которое Myhand сослался только что как на ответ, выглядело так:

myhand в сообщении #337728 писал(а):

Вообще говоря, будет - если учесть ограниченность пучка в поперечном сечении (это не идеально плоская волна).

Мой комментарий был таким:

Khrapko в сообщении #337746 писал(а):

Myhand снова увиливает от ответа. Он пишет, если учесть ограниченность, то будет испытывать, а если не учитывать, то не будет испытывать; вообще говоря, будет испытывать, а, в частности, не будет испытывать.
Впрочем, возможно, он не увиливает от ответа, а просто не понимает, что существует объективная реальность, не зависящая от того, что Myhand учитывает. Вот я потому и склоняюсь к тому что он добросовестно заблуждается.

Сейчас я добавляю, что смешно подозревать Аллена и Падгетта в подобном ответе, как это подозревает Myhand:

myhand в сообщении #337847 писал(а):

К сожалению, у меня сейчас нет доступа к тексту [1] …Но сильно подозреваю, что там Вам ответили именно подобным образом.

Что касается доступа к статье [1] Аллена и Падгетта, то я готов нарушить их копирайт ввиду важности нашей дискуссии. Помещаю статью на своем сайте. Однако, на всякий случай, привожу здесь свои комментарии статьи [1] из своей статьи [2]:
«Градиент интенсивности вблизи боковой поверхности луча вызывает азимутальную составляющую вектора Пойнтинга только в случае реального луча, удовлетворяющего уравнениям Максвелла. Нет никакой азимутальной составляющей в куске волны, который просто вырезан из целой волны. Такой кусок даже рассматривать нельзя, поскольку он не удовлетворяет уравнениям Максвелла» (стр. 1494).
Привожу также свои комментарии статьи [1] из своей статьи [3]:
«Отсутствие момента силы во внутренней освещенной зоне в рамках стандартной парадигмы подтверждается интересным рассуждением в работе [1]. Авторы мысленно делят наш луч на две концентрические части: внутренняя часть имеет некий радиус $\rho_1<R$, а внешняя имеет вид толстостенной трубы и располагается между $\rho_1$ и $R$, $u(\rho)=u_{in}(\rho)+u_{out}(\rho)$, так что $\partial_\rho u_{in}(\rho)=-\partial_\rho u_{out}(\rho)$ при $\rho=\rho_1$. Авторы справедливо утверждают, что вблизи окружности радиуса $\rho_1$ на поглощающей поверхности действуют два равных и противоположно направленных момента силы, которые взаимно компенсируются.» (стр. 7).

2) Myhand напрасно обижается, что я, вместо ссылки на свою статью [4], привел фрагмент из нее. Дело в том, что раньше я ссылался на эту свою статью и поэтому надеялся:

Khrapko в сообщении #337704 писал(а):

(ii) Myhand настаивает на «известном произволе в определении тензора момента (аналогично произволу в ТЭИ)», хотя такой произвол очевидно отсутствует. (Я надеюсь, что Myhand не заставит меня цитировать по этому поводу доводы из [4,5]).

Я ошибся. Мои надежды не оправдались. Myhand в действительности не видит ничего, кроме канонических тензоров из программы третьего курса. Его реакция на приведенный фрагмент из [4] доказывает, что он не заглядывал в статью [4].
Но он не заглядывал также в статью [5]. А там содержится прямое опровержение «Теории поля», где

myhand в сообщении #337847 писал(а):

прямо (1) указано на неоднозначность ТЭИ в электродинамике и (2) то, что на интегральных характеристиках (а не плотностях энергии, импульса и т.д.) - эта неоднозначность не сказывается.

В действительности, общепринятая неоднозачность ТЭИ сказывается не только на плотностях энергии, импульса и т.д., что само по себе недопустимо, но и на интегральных характеристиках. Ввиду свойства Myhand’a, вынужден привести выдержку из [5]:
«Добавление $\partial_\gamma\psi^{\alpha\beta\gamma}$ может изменить интегральный 4-импульс системы. Например, нетрудно выразить ТЭИ однородного массивного шара радиуса $R$ в виде $\partial_\gamma \psi^{\alpha\beta\gamma}$. Действительно, $\psi^{00i} = - \psi^{0i0} = \epsilon x^i/3 \quad(r< R), \quad \psi^{00i} = - \psi^{0i0} = \epsilon R^{3}x^i/3r^{3} \quad (r > R)$ дает $\partial_i\psi^{00i}=\epsilon \quad (r<R), \quad\partial_i\psi^{00i}=0 \quad (r > R).$ Очевидно, что добавление $\partial_\gamma\psi^{\alpha\beta\gamma}$ может изменить интегральный 4-импульс и наверняка изменяет среду локально.»

3) Я неоднократно указыва в своих работах на очевидный факт: процедура Белинфанте-Розенфельда дает безобразный несимметричный ТЭИ, вместо ТЭИ Максвелла, во всех тех случаях, когда ТЭИ вообще можно использовать, т.е. при наличии взаимодействия электромагнитного поля и вещества, т.е. при наличии электрических зарядов и токов. Этот факт совершенно очевиден, и я не буду приводить выдержек из статей по этому поводу.

4)

myhand в сообщении #337847 писал(а):

Физически измеримый (по-вашему компоненты тензора спина вполне измеримы, верно?) результат в калибровочно-инвариантной теории у Вас зависит от выбора калибровки (т.е. напрямую зависит от ). Это так? Если это так - то результат неправильный, т.к. уравнения движения (частиц, поля...) от калибровки не зависят. Как и законы сохранения.

Да, уравнения движения могут зависеть от калибровки при спиновом взаимодействии в классической электродинамике, поскольку тензор спина выражается через $A_i$. Правильные уравнения движения получаются только при использовании лоренцевой калибровки. На это давно обращается внимание [6]. По этому поводу высказывался Тони Ван Оостен:

Khrapko в сообщении #327810 писал(а):

"Дорогой Др. Храпко, Ваш препринт интересен. Вы правы, когда говорите, что что - то не так с подходом к электромагнитному спину в существующих теориях. Действительно, что - то не так с концепцией калибровочной инвариантности.
Проблема, которую Вы обсуждаете, реальна, но Вы не можете идти против такого массивного консенсуса и ожидать быть опубликованным. Представляется, что отрицание калибровочной инвариантности абсолютно немыслимо для научного сообщества.
Очень немногие физики проявляют желание или способность заново продумать основы; физики предпочитают быть частью сообщества, и это подразумевает принятие консенсуса. К сожалению, физик, который чувствует персональную ответственность за правильность его источников, является диссидентом.
Некоторый совет: формулируйте ваши статьи так консервативно и дипломатично, как только можете. Это означает: гораздо более дипломатично и консервативно, чем статья, которую Вы опубликовали. Однако даже публикация не подразумевает признание".

[1] L. Allen and M. J. Padgett “Response to Question #79. Does a plane wave carry spin angular momentum?” Am. J. Phys., Vol. 70, No. 6, June 2002 http://khrapkori.wmsite.ru/files/documents-15
[2] R.I.Khrapko, “Mechanical stresses produced by a light beam,” J. Modern Optics, 55, 1487-1500 (2008) http://khrapkori.wmsite.ru/ftpgetfile.p ... files&id=9
[3] Р.И. Храпко «Поток спина порождает антисимметричный тензор напряжений»
http://mai.ru/publications/index.php?ID=8925
[4] Храпко Р. И., «Локализация энергии-импульса и спин» Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. – 2002, № 10(1).- с.35-39. http://khrapkori.wmsite.ru/ftpgetfile.php? id=32&module=files
[5] R.I. Khrapko. True energy-momentum tensors are unique. Electrodynamics spin tensor is not zero. - http://arXiv.org/abs/physics/0102084 (10.08.2001)
[6] R.I. Khrapko. Violation of the gauge equivalence. - http://arXiv.org/abs/physics/0105031 (11.12.2001)

[myhand]

1) Формальное уточнение моего ответа:

myhand в сообщении #337728 писал(а):

Вообще говоря, будет - если учесть ограниченность пучка в поперечном сечении (это не идеально плоская волна).

Цитата:

Вообще говоря, будет - только если учесть ограниченность пучка в поперечном сечении (это не идеально плоская волна).

В этой связи не вижу особых различий с утверждением статьи.

2) Не вижу проблемы с Ваши примером с добавленим $\partial_\gamma\psi^{\alpha\beta\gamma}$, в виде $\psi^{00i} = - \psi^{0i0} = \epsilon x^i/3 \quad(r< R), \quad \psi^{00i} = - \psi^{0i0} = \epsilon R^{3}x^i/3r^{3} \quad (r > R)$. В теореме есть дополнительные условия на $\psi^{\alpha\beta\gamma}$, помимо антисимметричности по индексам. А именно - поведение этой функции на бесконечности. Если Вы нарушили последнее - не удивляйтесь, что вывод теоремы неверен.

Понимаю, что в учебных книжках могут и не заострять внимание читателей (делая неявное предположение, что они не идиоты) на этом втором условии (как у Ландау, например). Но это его не отменяет, вот и все. Тем не менее, произвол в $\psi^{\alpha\beta\gamma}$ остается очень широким, а условие на бесконечности - весьма формальное. Ему можно удовлетворить, в то время как в конечной области - функция останется совершенно произвольной.

Khrapko в сообщении #337909 писал(а):

3) Я неоднократно указыва в своих работах на очевидный факт: процедура Белинфанте-Розенфельда дает безобразный несимметричный ТЭИ, вместо ТЭИ Максвелла, во всех тех случаях, когда ТЭИ вообще можно использовать, т.е. при наличии взаимодействия электромагнитного поля и вещества, т.е. при наличии электрических зарядов и токов. Этот факт совершенно очевиден, и я не буду приводить выдержек из статей по этому поводу.

Ну так покажите в чем именно безобразность на конкретных предложенных примерах. Почему у меня, например (и не только) - все получается? В результате - имеем сумму симметризованных ТЭИ поля (выражение из ЛЛ) и материи.

Имеем (1) пока безосновательное утверждение, (2) весьма вероятно (свои подозрения на этот счет я обосновал, указав на те или иные Ваши утверждения) основанное на серии тривиальных ошибок и (3) по-видимому, существенное для дальнейших Ваших выводов и выкладок.

Так что я подожду подробных ответов на все поставленные вопросы, в том числе и этот.

Это требуют правила форума.

Khrapko в сообщении #337909 писал(а):

4)

myhand в сообщении #337847 писал(а):

Физически измеримый (по-вашему компоненты тензора спина вполне измеримы, верно?) результат в калибровочно-инвариантной теории у Вас зависит от выбора калибровки (т.е. напрямую зависит от ). Это так? Если это так - то результат неправильный, т.к. уравнения движения (частиц, поля...) от калибровки не зависят. Как и законы сохранения.

Да, уравнения движения могут зависеть от калибровки при спиновом взаимодействии в классической электродинамике, поскольку тензор спина выражается через $A_i$.

Тогда это ошибка. Если Вы не меняете, конечно, при этом теорию явно. Т.е. делаете лагранжиан калибровочно неинвариантными и т.д. Но тогда уравнения будут другие и это проявится в других явлениях. Например, скорее всего - у фотона будет масса. В общем, тогда новый лагранжиан в студию.

[Khrapko]

1) В течение 11 лет спрашивается, будет ли испытывать момент силы внутренняя часть тела, поглощающего луч круговой поляризации? Этот вопрос важен, потому что на него не могут ответить люди, которые отвергают классический тензора спина. Я задаю этот вопрос здесь седьмой раз.
Удивительным образом, Myhand настаивает, что его высказывание

myhand в сообщении #337923 писал(а):

Вообще говоря, будет - только если учесть ограниченность пучка в поперечном сечении (это не идеально плоская волна).

является ответом на вопрос.
Я подробно объяснял, что это высказывание является увиливанием от ответа, а не ответом. Действительно, Myhand утверждает, что внутренняя часть тела будет испытывать момент силы, если некто учитывает ограниченность пучка. А как только этот некто перестает учитывать ограниченность пучка, так сразу внутренняя часть тела перестает испытывать момент силы. Это ужасно, вот на таком уровне приходится вести дискуссии на форуме dxdy!

2) Я рад, что Вы понимаете, что традиционная добавка может содержать что угодно. Жаль, что Вы не сообщили об этом Белинфанте&Розенфельду и всем остальным, кто их цитирует. Ведь никто никогда не исследовал добавку Белинфанте-Розенфельда $\partial_\nu(A^\lambda F^{\mu\nu})$, а тем более добавку $\partial_\kappa(2x^{[\lambda}A^{\mu]}F^{\nu\kappa})$ на поведение на бесконечности.
Однако мы отвлеклись. Вы забыли, что наша с Вами дискуссия проходит совсем в другой плоскости. Я назойливо утверждаю, что истинные тензоры ЭИ и спина однозначны и не допускают никакой добавки, даже с самым хорошим поведением. Вы последний раз промолчали по этому поводу. Ваше молчание является знаком согласия с моим утверждением?

3) Я сожалею, что Ваша неспособность читать первоисточники обрекает меня на труд показать тут, в чем именно состоит безобразность тензора, получающегося процедурой Белинфанте-Розенфельда из канонического тензора электродинамики. Я копирую отрывок из статьи [3] со значительными сокращениями, причем заменяю выключные формулы их номерами. Итак,
«электродинамика начинается с канонического лагранжиана [15 (4-111)], $L_c=-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}/4$. Из него, с помощью лагранжевого формализма получаются канонический тензор энергии-импульса [15 (4-113)]
(4.4)
и канонический тензор момента импульса [15 (4-147)]
(4.5)
где
(4.6)
есть канонический тензор спина [15 (4-150)].
Однако, канонические тензоры (4.4), (4.5), (4.6) не являются тензорами электродинамики. Канонический тензор энергии-импульса имеет неправильную дивергенцию: $\partial_\mu T_c^{\lambda\mu}=\partial^\lambda A_\nu\partial_\mu F^{\nu\mu}$. Все они, очевидно, противоречат эксперименту. Например, рассмотрите однородное электрическое поле:
(4.9)
Каноническая плотность энергии такого поля отрицательна!
(4.10)
Другой пример: рассмотрите плоскую волну круговой поляризации (или центральную часть луча (1.1)),
(4.11)
Подсчет канонического тензора спина (4.6) дает
(4.12)
Этот результат абсурден. Хотя $\Upsilon_c^{xy0}$ и $\Upsilon_c^{xyz}$ адекватны, результат (4.12) означает, что существует поток спина в направлении осей X и Y, т.е. в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Существует мнение, что изменение лагранжиана может помочь получить тензор Максвелла (4.1). Однако ныне не известен метод получения тензора Максвелла в рамках стандартного лагранжевого формализма.
В рамках стандартной электродинамики канонические тензоры энергии-импульса (4.4) и полного момента импульса (4.5) используются в процедуре Белинфанте-Розенфельда [20,21]. Именно, к ним прибавляются специфические члены
(4.15), (4.16)
где $\tilde\Upsilon_c^{\lambda\mu\nu}=\Upsilon_c^{\lambda\mu\nu}-\Upsilon_c^{\mu\nu\lambda}+\Upsilon_c^{\nu\lambda\mu}=-2A^\lambda F^{\mu\nu}$. Эта процедура дает тензор энергии-импульса $T_{st}^{\lambda\mu}$ и тензор момента импульса $J_{st}^{\lambda\mu\nu}$, которые мы называем стандартными:
(4.17), (4.18)
К сожалению, тензор $T_{st}^{\lambda\mu}$ (4.17) очевидно неудачен, как и канонический тензор (4.4). Поэтому процедура Белинфане-Розенфельда выглядит бесполезной, и тензоры (4.17), (4.18) никогда не используются. Однако катастрофическое свойство этой процедуры выясняется при подсчете стандартного тензора спина:
$\Upsilon_{st}^{\lambda\mu\nu}=J_{st}^{\lambda\mu\nu}-2x^{[\lambda}T_{st}^{\mu]\nu}=0$.
Видно, что процедура Белинфанте-Розенфельда элиминирует тензор спина вообще!»

4) Я устал повторять, что я, конечно, меняю теорию явно. Но при этом я никак не использую никакой лагранжиан. Ибо я извлек урок из того факта, что даже тривиальный ТЭИ Максвелла невозможно получить в стандартном лагранжевом формализме.

[3] Р.И. Храпко «Поток спина порождает антисимметричный тензор напряжений»
http://mai.ru/publications/index.php?ID=8925

[myhand]

Khrapko в сообщении #338123 писал(а):

2) Я рад, что Вы понимаете, что традиционная добавка может содержать что угодно. Жаль, что Вы не сообщили об этом Белинфанте&Розенфельду и всем остальным, кто их цитирует. Ведь никто никогда не исследовал добавку Белинфанте-Розенфельда $\partial_\nu(A^\lambda F^{\mu\nu})$, а тем более добавку $\partial_\kappa(2x^{[\lambda}A^{\mu]}F^{\nu\kappa})$ на поведение на бесконечности.

Чушь. Вдали от тел $F_{ij}$ - падает с расстоянием достаточно быстро (как минимум $\propto r^{-1}$). Аналогично потенциалы поля $A_{i}$ (да еще с учетом калибровки). Так что это надуманная проблема.

Khrapko в сообщении #338123 писал(а):

Однако мы отвлеклись. Вы забыли, что наша с Вами дискуссия проходит совсем в другой плоскости.

Я ничего не забыл и буду требовать у Вас конкретных ответов на заданные вопросы. Сказали что процедура Б-Р приводит к проблемам - извольте доказать это на конкретном примере.

Этого требуют правила форума, несоблюдение их рано или поздно приведет тему к логичному финалу - Пургаторий. Я уже начинаю склоняться к мысли, что ей место именно там.

Khrapko в сообщении #338123 писал(а):

3) Я сожалею, что Ваша неспособность читать первоисточники обрекает меня на труд показать тут, в чем именно состоит безобразность тензора
Однако, канонические тензоры (4.4), (4.5), (4.6) не являются тензорами электродинамики. Канонический тензор энергии-импульса имеет неправильную дивергенцию: $\partial_\mu T_c^{\lambda\mu}=\partial^\lambda A_\nu\partial_\mu F^{\nu\mu}$.

Как Вы получили такую дивергенцию для лагранжиана свободного поля? Это неправильно, вот и все. Канонический ТЭИ, построенный по теореме Нётер - автоматически имеет нулевую дивергенцию. Вы же не делаете глупость, на которую уже неоднократно обратил Ваше внимание - Вы не используете для свободного поля неправильные уравнения поля, т.е. с током? Так делать нельзя. Отдельно ТЭИ электромагнитного поля не будет отвечать в этом случае закону сохранения, потому и получается у Вас "уродливые дивергенции".

Как надо - я объяснил, например здесь. Нужно взять модель, в которой будет соответствующий закон сохранения. Например свободное поле. А если у Вас есть ток - нужно рассмотреть еще и как движется материя (два примера лагранжианов я привел). Только когда действие симметрично относительно трансляций - справедлива теорема Нётер и Вы можете строить канонический ТЭИ (материи+поля) и проводить всякие симметризации...

Пожалуйста, покажите проблему с процедурой Б-Р на примере теории, где справедлива теорема Нётер. Свободное поле, или эти примеры. В задачках ведь ничего сложного - их третьекурсники решают и у них все получается. В чем проблема-то?

[Khrapko]

Нижеследующее эссе посвящается уважаемому Myhand’y
Нищета лагранжевого формализма
Электромагнитное поле основано на поле векторного потенциала $A_i$. С помощью функции Лагранжа типа $-mc^2ds-eA_idx^i$ из «Теории поля» (23,1) находят силу действия электромагнитного поля на заряженную среду со стороны этого поля, $f_i=F_{ik}j^k$. Так появляется тензор электромагнитного поля $F_{ik}=2\partial_{[i}A_{k]}$, по определению, удовлетворяющий 1-й паре уравнений Максвелла $\partial_{[i}F_{jk]}=0$.
Однако на этом заканчиваются достижения принципа наименьшего действия. Ничего больше найти с его помощью нельзя. А надо найти связь электромагнитного поля, т.е. $F_{ik}$, с током $j^k$ в качестве источника этого поля, т.е. найти $\partial_iF^{ik}=j^k$, т.е. найтии 2-ю пару уравнений Максвелла, и тем самым выразить силу действия электромагнитного поля на заряженную среду через само электромагнитное поле, именно, $f_i=F_{ik}\partial_jF^{jk}$.
Имея это выражение для силы, можно эту силу записать в виде дивергенции, $f_i=-\partial_jT_i^j$, от величины, $T_i^j$, которая этим равенством определяется и называется ТЭИ Максвелла, $T_i^j=-F_{ik}F^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4$.
Но ни 2-ю пару уравнений Максвелла, ни этот ТЭИ Максвелла нельзя получить стандартным лагранжевым формализмом. Действительно, выдумывают различные лагранжианы,
$L_1=-F_{ij}F^{ij}/4$ канонический,
$L_2=-F_{ij}F^{ij}/4-(\partial_iA^i)^2/2$ Дирака-Фока-Подольского,
$L_3=-\partial_iA^j\partial^iA_j/2$ простой векторный,
$L_4=-A_ij^i$ взаимодействия,
и пытаются с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа, $\frac{\partial L}{\partial A_i}-\partial_j\frac{\partial L}{\partial(\partial_jA_i)}$, получить 2-ю пару уравнений Максвелла. Получают:
$L=L_1+L_4$ даёт $\partial_iF^{ik}=j^k$
$L=L_2+L_4$ даёт $\partial_i^iA^k=j^k$
$L=L_3+L_4$ даёт $\partial_i^iA^k=j^k$.
Но нет критерия, чтобы выбрать из полученных уравнений истинное!
Далее, пытаются с помощью лагранжевой конструкции $T_L{}_i^j=\partial_iA_k\frac{\partial L}{\partial(\partial_jA_k)}-\delta_i^jL$ получить ТЭИ Максвелла. Получают:
$L_1$ даёт $T_1{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4$,
$L_2$ даёт $T_2{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4-\partial_iA^j\partial_kA^k+\delta_i^j(\partial_kA^k)^2/2$,
$L_3$ даёт $T_3{}_i^j=-\partial_iA_k\partial^jA^k+\delta_i^j\partial_kA_l\partial^kA^l$,
$L=L_1+L_4$ даёт $T_{1+4}{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4+\delta_i^j A_kj^k$.
Поскольку ничего хорошего тут не получается, Белинфанте &Co прибавляют рукой глупое выражение $\partial_k(A_iF^{jk})$ к глупому выражению $T_1{}_i^j$ и получают еще более глупое выражение $T_5{}_i^j=-F_{ik}F^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4+A_i\partial_kF^{jk}$, и никакого ТЭИ Максвелла.
Привет!
Пользуюсь случаем, обратить всеобщее внимание, что нет ни одного ответа на три вопроса:
Как выполняется закон сохранения момента импульса?
Диаграмма направленности излучения атома
Поглощение одного линейно поляризованного фотона.
Я размещал эти вопросы, кроме нашего форума, на форумах
http://groups.google.ru/group/sci.physics.electromag http://groups.google.ru/group/sci.physics.research http://groups.google.ru/group/sci.physics.foundations http://www.physicsforums.com http://forum.lebedev.ru http://www.scientific.ru/dforum/common

[myhand]

Khrapko в сообщении #338401 писал(а):

Однако на этом заканчиваются достижения принципа наименьшего действия. Ничего больше найти с его помощью нельзя. А надо найти связь электромагнитного поля, т.е. $F_{ik}$, с током $j^k$ в качестве источника этого поля, т.е. найти $\partial_iF^{ik}=j^k$, т.е. найтии 2-ю пару уравнений Максвелла

Из лагранжева формализма нельзя получить 2-ю пару уравнений Максвелла?

Знаете, Вы сделали еще одно "забавное" утверждение. Теперь уже лично у меня не остается сомнений в том, что единственной рекоммендацией Вам может стать только пожелание сесть за учебники. Совершенно очевидно, что знакомство с классической теорией поля у Вас более чем поверхностное. Отсюда и вышеотмеченные трудности в симметризации "канонического" ТЭИ из-за непонимания откуда канонический ТЭИ берется (отнюдь не из формального выражения типа (32,5) ЛЛ т.II, а из теоремы Нётер (далеко не для любого лагранжиана справедливой).

Для тех кто в танке - Ваши "разные" лагранжианы ($L_{[1-4]}$) дают одинаковые результаты с явно калибровочно инвариантным $L_1$ (уравнения поля буквально совпадают с учетом калибровки лоренца). Подинтегральные выражения для действия отличаются на величину, которая при интегрировании с учетом калибровки лоренца дает ноль. Т.е. Вы "забыли" еще уравнение связи $\partial_i A^i = 0$. Откройте Боголюбова-Ширкова, это все обсуждается в самых первых главах.

Khrapko в сообщении #338401 писал(а):

$L=L_1+L_4$ даёт $T_{1+4}{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4+\delta_i^j A_kj^k$.

Я уже несколько раз Вам писал, что в этом случае он ничего не дает. Теорема Нётер здесь неприменима. Действие не инвариантно относительно трансляций и никакого сохранения энергии-импульса нет, никакого равенства нулю $\partial_k T^{ik}$ для "канонического ТЭИ" (который никакой тут не "канонический"). Не удивительно - поле производит работу на током и наоборот - ток над полем.

Добавьте материю, т.е. опишите как она создает ток, влияющий на поле и обратно - как поле влияет на движение материи, т.е. на ток. Тогда Вы получите теорему Нётер, канонический ТЭИ и сможете провести процедуру симметризации Б-Р, которая замечательно сработает. Разберите ее на предложенных Вам примерах.

[Khrapko]

myhand в сообщении #338411 писал(а):

Ваши "разные" лагранжианы ()

Я честный человек! Разные лагранжианы $L_1$ - $L_4$ не мои. Тем более что я все эти лагранжианы в гробу видал! Но в своём «Боголюбове и Ширкове» (1957) я прочитал:
«Функцию Лагранжа возьмем по образцу векторного поля: $L_3$ (5.12). Этот лагранжиан фактически совпадает с лагранжианом Дирака-Фока-Подольского (1932) (см. также Вентцель (1947)): $L_2$, отличаясь от него дивергенцией. От обычно используемого градиентно-инвариантного выражения $L_1$ (5.13) лагранжиан (5.12) разнится на величину, которая при интеграции по всему пространству-времени с учетом условия Лоренца обращается в нуль, не давая вклада в действие системы.»
Так что: - «В чём же дело?
Я ничего дурного
Сказать вам не хотела.
Возьмите простокваши, …»

myhand в сообщении #338411 писал(а):

уравнения поля буквально совпадают с учетом калибровки лоренца

А вот тут – прошу пардона, Уравнения поля $\partial_iF^{ik}=j^k$ и $\partial_i^iA^k=j^k$ НЕ совпадают!
Что же касается использования лагранжиана $L=L_1+L_4$ для получения тензора Максвелла, то это профессор Сопер такое придумал! При этом он был так ослеплен своим желанием, что сделал арифметическую ошибку (ошибся? решил обмануть?)
ИТОГ: ТЭИ Максвелла не получается из лагранжевого формализма, сколько бы раз Вы ни поручали нам этим заняться в рамках 3-го курса.

[myhand]

Khrapko в сообщении #338431 писал(а):

видал! Но в своём «Боголюбове и Ширкове» (1957) я прочитал:
«Функцию Лагранжа возьмем по образцу векторного поля: $L_3$ (5.12). Этот лагранжиан фактически совпадает с лагранжианом Дирака-Фока-Подольского (1932) (см. также Вентцель (1947)): $L_2$, отличаясь от него дивергенцией. От обычно используемого градиентно-инвариантного выражения $L_1$ (5.13) лагранжиан (5.12) разнится на величину, которая при интеграции по всему пространству-времени с учетом условия Лоренца обращается в нуль, не давая вклада в действие системы.»

Ну и? Они физически эквивалентны. Дают одинаковые действия (с учетом связи, в качестве которой служит калибровка Лоренца). Одинаковые ТЭИ (опять-таки, с учетом связи). Вы даже процетировали кусок текста, где прямо об этом написано (чуть дальше - про отличия ТЭИ при выборе такого лагранжиана). Никакой разницы нет.

Khrapko в сообщении #338431 писал(а):

myhand в сообщении #338411 писал(а):

уравнения поля буквально совпадают с учетом калибровки лоренца

А вот тут – прошу пардона, Уравнения поля $\partial_iF^{ik}=j^k$ и $\partial_i^iA^k=j^k$ НЕ совпадают!

Как это они не совпадают? Второе уравнение справедливо только с учетом связи $\partial_i A^i = 0$. Если мы фиксируем аналогично калибровку в первом уравнении - получим именно второе ($\partial^i\partial_i A^k = j^k$, Ваши обозначения немного "нестандартные"). Большего и не требуется. Вы снова забыли связь.

Khrapko в сообщении #338431 писал(а):

Что же касается использования лагранжиана $L=L_1+L_4$ для получения тензора Максвелла, то это профессор Сопер такое придумал! При этом он был так ослеплен своим желанием, что сделал арифметическую ошибку (ошибся? решил обмануть?)

Мне не интересно рассуждать "кто придумал" глупость - конкретно Вы или кто-то, кого Вы цитируете. Я просто объяснил Вам в чем ошибка такого "подхода".

Khrapko в сообщении #338431 писал(а):

ИТОГ: ТЭИ Максвелла не получается из лагранжевого формализма, сколько бы раз Вы ни поручали нам этим заняться в рамках 3-го курса.

Итог. Вы просто не допускаете мысли о том, что можете ошибаться.

Уверены, что "не получается" - покажите это на осмысленном примере. Где выполняются условия теоремы Нётер, где можно построить канонический ТЭИ (который отвечает закону сохранения, с нулевой дивергенцией...) и дальше уже можно применять желаемые процедуры симметризации.

Я многого прошу? Сделали утверждение - извольте его доказать, а там можно продолжить разбирать отстальные, если только разобранная ошибка все остальное не перечеркнет...

Делов-то. Вот выписан такой-то лагранжиан (примеры даны, берите любой, можно еще релятивистскую гидродинамику использовать в качестве модели). Вот он трансляционно-инвариантен - вот уравнения поля и вот канонический ТЭИ. Вычислите все это и покажите что у Вас получилось. Прибавьте к каноническому ТЭИ добавку Б-Р. Покажите что получилось. На каком этапе у Вас проблема (что конкретно получилось и почему это создает проблему)?

Ответ "не могу ничего вычислить" - не принимается (если так - Вам в школу). Я ведь не отказываюсь выполнить всю эту работу за Вас - только приведите сперва хоть какие-то вычисления по данным проблемам, демонстрирующие что Вы хоть что-то пытались делать.

[Khrapko]

Рассмотрим вторую пару уравнений Максвелла, $\partial_i^iA^k=j^k$, которая получается из лагранжиана $L=L_2+L_4$. Изменим калибровку! При этом электромагнитное поле, т.е. $F^{ik}$, не изменится, а плотность тока, $\partial_i^iA^k=j^k$, изменится!
Электродинамика, которую защищает Myhand, является калибровочно инвариантной теорией. Поэтому я говорю: «Уравнения поля $\partial_iF^{ik}=j^k$ и $\partial_i^iA^k=j^k$ НЕ совпадают!»
Мы помним также прошлое выступление Myhand’a:

myhand в сообщении #337847 писал(а):

последний момент, чтобы внести ясность. Физически измеримый результат в калибровочно-инвариантной теории у Вас зависит от выбора калибровки. Это так? Если это так - то результат неправильный, т.к. уравнения движения (частиц, поля...) от калибровки не зависят. Как и законы сохранения.

А теперь мы читаем

myhand в сообщении #338437 писал(а):

Как это они не совпадают? Второе уравнение справедливо только с учетом связи $\partial_iA^i=0$. Если мы фиксируем аналогично калибровку в первом уравнении - получим именно второе ($\partial^i\partial_iA^k=j^k$, Ваши обозначения немного "нестандартные"). Большего и не требуется. Вы снова забыли связь.

Это похоже на сумасшедший дом. Но пойдем дальше.
Я выписал пять лагранжианов и получил пять ТЭИ, применяя лагранжевый формализм, причем один из ТЭИ получен по рецепту Белинфанте &Co:
$T_1{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4$,
$T_2{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4-\partial_iA^j\partial_kA^k+\delta_i^j(\partial_kA^k)^2/2$,
$T_3{}_i^j=-\partial_iA_k\partial^jA^k+\delta_i^j\partial_kA_l\partial^kA^l$,
$T_{1+4}{}_i^j=-\partial_iA_kF^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4+\delta_i^j A_kj^k$,
$T_5{}_i^j=-F_{ik}F^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4+A_i\partial_kF^{jk}$.
Ни один их этих ТЭИ не совпадает с ТЭИ Максвелла
$T_i^j=-F_{ik}F^{jk}+\delta_i^jF_{kl}F^{kl}/4$.
Myhand не оспаривает правильность вычислений и результатов.
Он просто пишет

myhand в сообщении #338437 писал(а):

Вычислите все это и покажите что у Вас получилось.

Это уже явно сумасшедший дом.

[myhand]

Знаете, это уже начинает надоедать.

Khrapko в сообщении #338469 писал(а):

Это похоже на сумасшедший дом. Но пойдем дальше.

"Это" является следствием элементарного невежества (беретесь "ниспровергать" - прям по Булгакову, "А в то же время вы наглотались зубного порошку..."). Лагранжианы, которые Вы привели - дают физически идентичные результаты. Разница только в том, что один из них калибровочно-инвариантен. Другие же ($L_{[2,3]}$) - калибровочно неинвариантны, поэтому используются дополнительные связи, фиксирующие калибровку (как раз чтобы не получить нефизических решений, по сравнению с $L_1$). Вы не можете произвольно "изменить" в этих теориях калибровку - это связь, калибровка в этих теориях фиксирована с самого начала (строго говоря, еще не полностью - лоренцева калибровка оставляет еще некоторый произвол). Вы ведь знаете что такое механика со связями?

Khrapko в сообщении #338469 писал(а):

Я выписал пять лагранжианов и получил пять ТЭИ, применяя лагранжевый формализм, причем один из ТЭИ получен по рецепту Белинфанте &Co:

Ну так посмотрите Боголюбова-Ширкова. Там как раз используется лагранжиан Фока-Подольского и обсуждаются "отличия" канонического ТЭИ от калибровочно-инвариантного лагранжиана $L_1$. Не вижу смысла повторяться и указывать на учебники.

Khrapko в сообщении #338469 писал(а):

Myhand не оспаривает правильность вычислений и результатов.
Он просто пишет

myhand в сообщении #338437 писал(а):

Вычислите все это и покажите что у Вас получилось.

Это уже явно сумасшедший дом.

Знаете, а вырывать из контекста высказывания - не очень хорошо. Просьба была адресована несколько по другому поводу.

Вы читать не умеете или просто не хотите? Так когда отвечать-то собираетесь?

Что касается мнимых "различий" между лагранжианами свободного поля - я объяснил в предыдущем посте суть этих самых различий (Вы забыли учесть связь в случаях, когда берете лагранжиан свободного поля калибровочно неинвариантным). Тем более, что "канонические" ТЭИ Вы построили в случаях $L_{[23]}$ - очевидным образом неверно. Почему? Правильно - не учли связь.

PS: Знаете, мне уже надоело писать одно и то же разными словами. Указывать на одни и те же ошибки и повторять вопросы, которые Вы напрочь игнорируете. Как говорится: "Я устал. Я ухожу..." Оставим судьбу топика и Вашу на форуме - на усмотрение модераторов.

Для меня лично достаточно очевидно, что Вы и тени сомнения не допускаете в своей правоте. Воля Ваша - но о каком обсуждении тут может идти речь. Надеюсь, что я неправ и Вы измените стиль ведения "дискуссии" - но шансов мало, ИМХО...

[Khrapko]

Я тоже устал. Но тут появилась мысль: Уравнения поля $\partial_iF^{ik}=j^k$ и $\partial_i^iA^k=j^k$, полученные из лагранжианов $L=L_1+L_4$, $L=L_2+L_4$, $L=L_3+L_4$, будут совпадать, если узаконить, что истинным полем векторного потенциала $A_i$, является поле, удовлетворяющее лоренцевой калибровке, то есть отказаться от калибровочной инвариантности электродинамики, Это как раз то, к чему я пришел со своим тензором спина.

Khrapko в сообщении #337909 писал(а):

Да, уравнения движения могут зависеть от калибровки при спиновом взаимодействии в классической электродинамике, поскольку тензор спина выражается через $A_i$. Правильные уравнения движения получаются только при использовании лоренцевой калибровки. На это давно обращается внимание [6]. По этому поводу высказывался Тони Ван Оостен:

Я не вижу, какой ущерб электродинамике нанесет отказ от калибровочной инвариантности

[myhand]

Khrapko в сообщении #338506 писал(а):

Уравнения поля $\partial_iF^{ik}=j^k$ и $\partial_i^iA^k=j^k$, полученные из лагранжианов $L=L_1+L_4$, $L=L_2+L_4$, $L=L_3+L_4$, будут совпадать, если узаконить, что истинным полем векторного потенциала $A_i$, является поле, удовлетворяющее лоренцевой калибровке, то есть отказаться от калибровочной инвариантности электродинамики

Ничего не нужно делать, чтобы они совпадали. Они и так совпадают. Отличие лагранжианов типа Фока-Подольского в том, что там явным образом фиксируется калибровка (то, что Вы "забыли" добавить к лагранжианам). Уравнения для $A$ совпадут тождественно с калибровочно-инвариантным лагранжианом при выборе там лоренцевой калибровки. А уравнения для тензора поля $F$ - совпадут тождественно, вместе со всей получающейся физикой.

Khrapko в сообщении #338506 писал(а):

Это как раз то, к чему я пришел со своим тензором спина.

Не туда Вас занесло...

Khrapko в сообщении #338506 писал(а):

Khrapko в сообщении #337909 писал(а):

Да, уравнения движения могут зависеть от калибровки при спиновом взаимодействии в классической электродинамике, поскольку тензор спина выражается через $A_i$. Правильные уравнения движения получаются только при использовании лоренцевой калибровки. На это давно обращается внимание [6]. По этому поводу высказывался Тони Ван Оостен:

Я не вижу, какой ущерб электродинамике нанесет отказ от калибровочной инвариантности

Знаете, если Вы не видите - не значит что не видит никто. Почитайте недавний обзор про ограничения на массу фотонов (и гравитонов) в RMP. На самом деле, одно из последствий нарушения калибровочной инвариантности - появление массы у фотона. И это также материал стандартных курсов.

Второе. Кто такой Тони Ван Оостен, что Вы на него постоянно ссылаетесь? Это человек, написавший Вам письмо? Чем-то более существенным он известен?

[Khrapko]

Я устал, но есть вещи, которые нельзя спускать!

myhand в сообщении #338515 писал(а):

Отличие лагранжианов типа Фока-Подольского в том, что там явным образом фиксируется калибровка (то, что Вы "забыли" добавить к лагранжианам).

Вы ошибаетесь. Там явным образом НЕ фиксируется калибровка. Лагранжиан Дирака-Фока-Подольског-Вентцеля, $L_2=-F_{ij}F^{ij}/4-(\partial_iA^i)^2/2$, СОДЕРЖИТ член $\partial_iA^i$. Уважаемые физики написали этот член, потому, что Ваше нынешнее конъюктурное заявление $\partial_iA^i=0$ им было чуждо.

myhand в сообщении #338515 писал(а):

Кто такой Тони Ван Оостен, что Вы на него постоянно ссылаетесь? Это человек, написавший Вам письмо? Чем-то более существенным он известен?

«Нет! Презренна по самой сути
Эта формула бытия!
Те, кто выбраны, те и судьи?!
Я не выбран. Но я – судья!»
Ученый отличается, в частности, тем, что рассматривает идеи вне зависимости от регалий автора.
Вы заставили меня процитировать письмо еще раз.

Khrapko в сообщении #327810 писал(а):

"Дорогой Др. Храпко, Ваш препринт интересен. Вы правы, когда говорите, что что - то не так с подходом к электромагнитному спину в существующих теориях. Действительно, что - то не так с концепцией калибровочной инвариантности.
Проблема, которую Вы обсуждаете, реальна, но Вы не можете идти против такого массивного консенсуса и ожидать быть опубликованным. Представляется, что отрицание калибровочной инвариантности абсолютно немыслимо для научного сообщества.
Очень немногие физики проявляют желание или способность заново продумать основы; физики предпочитают быть частью сообщества, и это подразумевает принятие консенсуса. К сожалению, физик, который чувствует персональную ответственность за правильность его источников, является диссидентом.
Некоторый совет: формулируйте ваши статьи так консервативно и дипломатично, как только можете. Это означает: гораздо более дипломатично и консервативно, чем статья, которую Вы опубликовали. Однако даже публикация не подразумевает признание".

Вы имеете что-нибудь возразить по существу?

[myhand]

Khrapko в сообщении #338597 писал(а):

Я устал, но есть вещи, которые нельзя спускать!

myhand в сообщении #338515 писал(а):

Отличие лагранжианов типа Фока-Подольского в том, что там явным образом фиксируется калибровка (то, что Вы "забыли" добавить к лагранжианам).

Вы ошибаетесь. Там явным образом НЕ фиксируется калибровка. Лагранжиан Дирака-Фока-Подольског-Вентцеля, $L_2=-F_{ij}F^{ij}/4-(\partial_iA^i)^2/2$, СОДЕРЖИТ член $\partial_iA^i$. Уважаемые физики написали этот член, потому, что Ваше нынешнее конъюктурное заявление $\partial_iA^i=0$ им было чуждо.

Вы опять забыли про связь. Каждая связь приводит к дополнительному слагаемому в действии, типа $\int d^4 x \lambda \partial_i A^i$, где $\lambda$ - соответствующий неопределенный множитель Лагранжа. Нельзя тупо (извините, мягче слова нет) в лагранжиане положить $\partial_i A^i =0$. Но можно варьированием по $\lambda$ получить как одно из "уравнений поля" - эту самую связь.

Кстати, я не совсем аккуратно сформулировал мысль здесь. В более общем случае (я ссылался на Боголюбова - там как раз используется лоренцева калибровка и $L_3$) - может использоваться какой-то другой выбор калибровки (зависит от того, какой конкретно калибровочно-неинвариантный лагранжиан Вы выберете). Не обязательно даже лоренц-инвариантный выбор... Важно то, что такая связь неприменно есть, она учитывается при вариации действия и при получении законов сохранения. Именно связь гарантирует отсутствие лишних решений по-построению.

Khrapko в сообщении #338597 писал(а):

Ученый отличается, в частности, тем, что рассматривает идеи вне зависимости от регалий автора.

Это мешает поинтересоваться кто такой Ваш Тони? Может он просто дворник в университете и к физике не имеет ровно никакого отношения? И ведь не я один уже в треде это отметил, на это Вам с самого начала указали (адрес наводит на подозрение, что он не профессиональный физик).

Каких-либо "идей" от многоуважаемого Тони не последовало. Ну, не нравится ему калибровочная инвариантность в электродинамике. Бывает. Может у него действительно есть серъезные аргументы. А может, он чего-то не понимает. Пробелы в образовании, ошибки - что угодно быть может...

Вы ошибаетесь, если полагаете что в науке сплошная демократия и мнение кого-угодно о чем-угодно совершенно равнозначны. Именно в таких "общих" утверждениях - это не так. Совершенно естественно, например, игнорировать мнение студента первокурсника или человека с инженерным образованием о том, что СТО, калибровочная инвариантность, ... whatever ... - это чушь. Приведет подробные аргументы - можно уже задуматься и потратить время на дискуссию/объяснение.

Khrapko в сообщении #338597 писал(а):

Вы имеете что-нибудь возразить по существу?

Да (только не Тони, а Вам). И это уже было сделано в треде. Не хотите видеть возражений - дело Ваше.